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MÉCANIQUE CÉLESTE.

rés des vitesses relatives des corps du système les uns autour des autres, en les considérant deux à deux, et en supposant l’un des deux immobile, chaque carré étant multiplié par le produit des deux masses que l’on considère.

23. Reprenons l’équation (R) du n° 19 ; en la différentiant par rapport à la caractéristique $\delta ,$ on aura

$\sum mv\delta v=\sum m\left(\mathrm {P} \delta x+\mathrm {Q} \delta y+\mathrm {R} \delta z\right)\;$

l’équation (P) du n° 18 devient ainsi

$0=\sum m\left(\delta x\cdot d{\frac {dx}{dt}}+\delta y\cdot d{\frac {dy}{dt}}+\delta z\cdot d{\frac {dz}{dt}}\right)-\sum mdt\cdot v\delta v.$

Soient $ds$ l’élément de la courbe décrite par $m,\ ds'$ l’élément de la courbe décrite par $m'\cdots \,;$ on aura

${\begin{aligned}&vdt=ds,\;v'dt=ds',\cdots ,\\&ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}},\cdots ,\end{aligned}}$

d’où l’on tirera, en suivant l’analyse du n° 8,

$\sum m\delta v\left(vds\right)=\sum md{\frac {dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z}{dt}}.$

En intégrant par rapport à la caractéristique différentielle $d,$ et en étendant les intégrales aux courbes entières décrites par les corps $m,m',\cdots ,$ on aura

$\sum \delta \int mvds=\mathrm {const.} +\sum m{\frac {dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z}{dt}},$

les variations $\delta x,\delta y,\delta z,\cdots$ étant, ainsi que la constante du second membre de cette équation, relatives aux points extrêmes des courbes décrites par $m,m'\cdots$

Il suit de là que, si ces points sont supposés invariables, on a

$0=\sum \delta \int mvds,$