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PREMIÈRE PARTIE. — LIVRE I.

pendiculaire, est nulle, puisque l’angle $\varphi$ reste indéterminé. On pourra, au moyen de ces propriétés, retrouver ce plan à un instant quelconque, quelles que soient les variations survenues par l’action mutuelle des corps dans leur position respective, de même que l’on peut facilement retrouver dans tous les temps la position du centre de gravité du système ; et, par cette raison, il est aussi naturel de rapporter à ce plan les $x$ et les $y$ que de rapporter au centre de gravité l’origine des coordonnées.

22. Les principes de la conservation des forces vives et des aires ont encore lieu, en supposant à l’origine des coordonnées un mouvement rectiligne et uniforme dans l’espace. Pour le démontrer, nommons ${\rm {X,Y,Z}}$ les coordonnées de cette origine, supposée mobile, par rapport à un point fixe, et supposons

${\begin{alignedat}{3}x\ &=\mathrm {X} +x_{1},&\quad y\ &=\mathrm {Y} +y_{1},&\quad z\ &=\mathrm {Z} +z_{1},\\x'&=\mathrm {X} +x'_{1},&\quad y'&=\mathrm {Y} +y'_{1},&\quad z'&=\mathrm {Z} +z_{'}1,\\\cdots &\cdots \cdots \cdots ,&\cdots &\cdots \cdots \cdots ,&\cdots &\cdots \cdots \cdots \,;\end{alignedat}}$

$x_{1},y_{1},z_{1},x'_{1},\cdots$ seront les coordonnées de $m,m',\cdots$ relativement à l’origine mobile. On aura, par l’hypothèse,

$d^{2}\mathrm {X} =0,\qquad d^{2}\mathrm {Y} =0,\qquad d^{2}\mathrm {Z} =0\,;$

mais on a, par la nature du centre de gravité, lorsque le système est libre,

${\begin{aligned}&0=\sum md^{2}\mathrm {X} +d^{2}x'_{1}-\sum m\mathrm {P} dt^{2},\\&0=\sum md^{2}\mathrm {Y} +d^{2}y'_{1}-\sum m\mathrm {Q} dt^{2},\\&0=\sum md^{2}\mathrm {Z} \,+d^{2}z'_{1}-\sum m\mathrm {R} dt^{2}.\end{aligned}}$

L’équation (P) du n° 18 deviendra ainsi, en y substituant $\delta \mathrm {X} +\delta x_{1},$ $\delta \mathrm {Y} +\delta y_{1},\cdots ,$ au lieu de $\delta x,\delta y,\cdots ,$

$0=\sum m\delta x_{1}\left({\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}-\mathrm {P} \right)+\sum m\delta y_{1}\left({\frac {d^{2}y_{1}}{dt^{2}}}-\mathrm {Q} \right)+\sum m\delta z_{1}\left({\frac {d^{2}z_{1}}{dt^{2}}}-\mathrm {R} \right),$

équation exactement de la même forme que l’équation (P), si les forces