en regardant
et
comme premiers entre eux ; dans le second, on résoudra de même l’équation
![{\displaystyle x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B} _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f26d5ae1b4c92f6f2c3fea42a8a2a396a8e152)
étant
dans l’hypothèse de
et
premiers entre eux, et l’on multipliera ensuite les valeurs de
et
par
dans le troisième, on résoudra l’équation
![{\displaystyle x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B} _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9f5cad3063339fc9e45389b052b2a6b3145aee6)
étant
dans l’hypothèse de
et
premiers entre eux, et l’on multipliera ensuite les valeurs de
et de
par ![{\displaystyle \beta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b01f1392a9d3d098e2cf66a41357ee5516c85160)
4o Etc.
Ainsi on aura autant d’équations différentes à résoudre qu’il y aura de différents diviseurs carrés de
mais ces équations seront toutes de la même forme
![{\displaystyle x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5ce6deaa71dc055c2f8e295af346d0ec950a1e)
et
sera aussi toujours premier à ![{\displaystyle \mathrm {B} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/290ba95cad121a2f562a2a768db14d469a248087)
65. Considérons donc, en général, l’équation
![{\displaystyle x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5ce6deaa71dc055c2f8e295af346d0ec950a1e)
où
est premier à
et, comme
et
doivent être des nombres entiers, il faudra que
soit divisible par ![{\displaystyle \mathrm {B} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/290ba95cad121a2f562a2a768db14d469a248087)
On fera donc, suivant la méthode du § IV (no 48),
et l’on aura l’équation
![{\displaystyle \left(n^{2}-\mathrm {A} \right)y^{2}-2n\mathrm {B} yz+\mathrm {B} ^{2}z^{2}=\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f4304f32ff2c2198e4aa7b4a2ee969bf18e428)
par laquelle on voit que le terme
doit être divisible par
puisque tous les autres le sont d’eux-mêmes ; donc, comme
est premier à
(hyp.), il faudra que
soit divisible par
de sorte qu’en faisant
on aura, après avoir divisé par ![{\displaystyle \mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d78a2086ed80d312a2621662edfa44ef8d47317d)
![{\displaystyle \mathrm {C} y^{2}-2nyz+\mathrm {B} z^{2}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab8a361c5ea62fe0d82bcc8e459f2b4e8f00a91d)