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où $\varphi (\omega ),\psi (\omega )$ sont des fonctions quelconques de $\omega \,;$ mais les quantités $\lambda ,\mu ,\nu$ seront égales aux cosinus des arcs $\mathrm {AP,\,BP,\,CP} ,$ de même que $l,\,m,\,n$ aux cosinus des arcs $\mathrm {AQ,\,BQ,\,CQ} .$

(Au verso, de la main de Lagrange :

Répondu dans une Lettre à M. Euler du 15 juillet 1773.)

28.

EULER À LAGRANGE.

Saint-Pétersbourg,

{\tfrac {24{\text{ septembre}}}{5{\text{ octobre}}}}

1773^[1].

Monsieur et très honoré Confrère,

Ayant enfin reçu la traduction française de mon Algèbre, j’ai l’honneur de vous témoigner ma très parfaite reconnaissance de la peine que vous vous êtes donnée d’y ajouter vos très profondes recherches sur l’Analyse indéterminée, et je vous prie de vouloir bien présenter tant à M. Bernoulli qu’aux libraires mes très humbles remerciements.

J’ai lu avec la plus grande satisfaction les excellents Mémoires dont vous venez d’enrichir les Mémoires de l’Académie royale de Berlin ; les belles démonstrations que vous y donnez du théorème de M. Waring^[2] m’ont causé un très grand plaisir, et j’en ai aussi trouvé une démonstration fondée sur des principes tout à fait différents.

Soit $2p+1$ le nombre premier dont il s’agit, et il est certain qu’il y a toujours une infinité de nombres $a,$ tels que les puissances $1.a.a^{2}.a^{3}\ldots$ jusqu’à $a^{2p-1},$ étant divisées par $2p-1,$ produisent des restes tout différents entre eux, de sorte que $a^{2p}$ soit la première puissance après l’unité qui reproduise le reste $1,$ d’où il s’ensuit que la puissance $a^{p}$ donne $-1$ pour reste. Comme donc tous les restes mentionnés sont

↑ Ms. in-4^o, f° 40. – Opera postuma, t. I p. 583.
↑ Édouard Waring, né à Shre\sigmabury en 1734, mort en 1798.

[1] Ms. in-4^o, f° 40. – Opera postuma, t. I p. 583.

[2] Édouard Waring, né à Shre\sigmabury en 1734, mort en 1798.

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