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des arcs de cercle deviendrait impossible et, si l’on était assuré a priori que cette condition doit avoir lieu, on simplifierait beaucoup les calculs précédents, car il n’y aurait qu’à rejeter d’abord les termes affectés de $t,$ dans les valeurs de $s,\,u,\,{\frac {ds}{dt}},\,{\frac {du}{dt}},$ ce qui donnerait

$s=p,\qquad u=q,\qquad {\frac {ds}{dt}}=-\alpha lq+\alpha ^{2}{\frac {q}{12}}\left(18l^{2}+5p^{2}+5q^{2}\right),$

${\frac {du}{dt}}=\alpha lp-{\frac {\alpha ^{2}p}{12}}\left(18l^{2}+5p^{2}+5q^{2}\right),$

$y=l-\ldots +p\sin t+q\cos t+\alpha \sin 2t\left({\frac {pq}{3}}-{\frac {2\alpha pql}{3}}\right)+\ldots \,;$

en sorte qu’il n’y aurait plus qu’à éliminer $p$ et $q,$ au moyen des deux premières équations $p=s,\ q=u\,;$ or, de ce que l’équation différentielle en $y$ ne contient point $t,$ mais seulement $dt,$ il n’est pas difficile d’en conclure que l’expression de $y,$ ainsi que les équations en $s,u$ et $t,$ ne doivent pas non plus contenir l’arc $t.$

Il ne me reste de papier que pour vous embrasser et vous renouveler les assurances des sentiments que je vous ai voués pour la vie, et avec lesquels j’ai l’honneur d’être, Monsieur et très cher Confrère,

Votre très-humble et très-obéissant serviteur,

De Lagrange.

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10.

LAPLACE À LAGRANGE.

Paris, 30 juillet 1779.

Monsieur et très illustre Confrère,

J’ai l’honneur de vous envoyer la fin de mes recherches sur le système du monde et le premier exemplaire d’un Mémoire sur les suites, dans lequel j’ai eu pour objet de rassembler sous un seul point de vue les différents théorèmes que l’on a trouvés sur cette matière, et prin-