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SECONDE PARTIE. — SECTION VIII.
et l’on aura
![{\displaystyle \mathrm {A} '={\frac {\mathrm {A-B\operatorname {tang} \mu +C\operatorname {tang} ^{2}\mu -D\operatorname {tang} ^{2}\mu +\ldots } }{1-\operatorname {tang} ^{2}\mu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d58fb8ad6b9bb23c6b95d23498ca2b924b9c95e7)
On aura ainsi
![{\displaystyle {\frac {1}{(1+\cos \psi )\Sigma }}={\frac {2}{(2+\cos \alpha +\cos \beta )\cos ^{2}\mu \cos \gamma }}\mathrm {\left(A'+B'\cos 2\sigma +C'\cos 4\sigma +\ldots \right)} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1214f8fe545bf755b112e14ccda06ea1ea2b30a9)
On trouvera de même
![{\displaystyle {\frac {1}{(1-\cos \psi )\Sigma }}={\frac {2}{(2-\cos \alpha -\cos \beta )\cos ^{2}\mu \cos \gamma }}\mathrm {\left(A''+B''\cos 2\sigma +C''\cos 4\sigma +\ldots \right)} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f9ad8971eb6c5a5c49e113f15c79dc2dff95aa)
où l’on aura, en changeant
en ![{\displaystyle -\nu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a573f4a5a703f121c833612b44c33c99ca3f3b53)
![{\displaystyle \mathrm {A} ''={\frac {\mathrm {A+B\operatorname {tang} \nu +C\operatorname {tang} ^{2}\nu +D\operatorname {tang} ^{2}wn+\ldots } }{1-\operatorname {tang} ^{2}\nu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20b80fafb272814fc16eef7ad41924f3741b23a4)
Faisant ces substitutions dans la valeur de
de l’article 17, et intégrant de manière que
soit égal à
lorsque
on aura
![{\displaystyle \varphi ={\frac {\varkappa {\sqrt {2}}\sin \alpha \sin \beta }{\sqrt {\cos \alpha +\cos \beta }}}\left\{{\begin{aligned}&+{\frac {\mathrm {2A'\,\sigma +B'\,\sin 2\sigma +{\frac {1}{2}}C'\,\sin 4\sigma +\ldots } }{(2+\cos \alpha +\cos \beta )\cos ^{2}\mu \cos \gamma }}\\&+{\frac {\mathrm {2A''\sigma +B''\sin 2\sigma +{\frac {1}{2}}C''\sin 4\sigma +\ldots } }{(2-\cos \alpha -\cos \beta )\cos ^{2}\nu \cos \gamma }}\end{aligned}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68759dc67d8877887fcaf923b3da3fac228947d2)
En faisant
on aura l’angle compris entre les plans qui passent par la verticale et par les points le plus bas et le plus haut de la courbe décrite par le pendule ; et, cet angle étant nommé
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi =&+{\frac {\pi \mathrm {A} '\varkappa {\sqrt {2}}\sin \alpha \sin \beta }{\sqrt {\cos \alpha +\cos \beta (2+\cos \alpha +\cos \beta )\cos ^{2}\mu \cos \gamma }}}\\&+{\frac {\pi \mathrm {A} ''\varkappa {\sqrt {2}}\sin \alpha \sin \beta }{\sqrt {\cos \alpha +\cos \beta (2-\cos \alpha -\cos \beta )\cos ^{2}\nu \cos \gamma }}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad4f56cac4582f119ef8fa2de25f4eea20336b8d)
Comme tous les points les plus hauts, ou les sommets de la courbe, répondent à
si l’on dénote par
les valeurs de
pour
on aura
![{\displaystyle \Phi '=3\Phi ,\qquad \Phi ''=5\Phi ,\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e20789dfd9018aba04f9b5c33bc9183564a5fdc7)