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RÉFLEXION D’UNE ONDE PLANE
par conséquent
se réduit à
qui doit être
continu. De même
se réduit à
qui doit être aussi
continu. Enfin
Désignons par
la valeur de
dans le premier milieu,
prise sur la surface de séparation, par
cette valeur dans
le second milieu.
Puisque
est continu,
tout le long de la surface
de séparation. On peut donc différencier par rapport
à
et à
et écrire
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {X} _{1}}{dx}}={\frac {d\mathrm {X} _{2}}{dx}}\qquad \qquad {\frac {d\mathrm {X} _{1}}{dy}}={\frac {d\mathrm {X} _{2}}{dy}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a47ccc43b3932e9aceb836290295d4ba3d61bf49)
et puisque
doit être continu,
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {X} _{1}}{dz}}={\frac {d\mathrm {X} _{2}}{dz}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fed1c8f6a71bac78da5e77a8a8ee3e4d56983ffe)
Égalons les valeurs de
pour
de chaque côté du
plan de séparation, il vient :
![{\displaystyle \mathrm {X} =\mathrm {A} e^{{\sqrt {-1}}(by+cz+pt)}+\mathrm {B} e^{{\sqrt {-1}}(by-cz+pt)}=\mathrm {C} e^{{\sqrt {-1}}(b'y+c'z+pt)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f359133d72c9a474fb6b9f48f706ad2b687ddaae)
soit pour
en supprimant le facteur commun ![{\displaystyle e^{{\sqrt {-1}}pt},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8e1d3f655e247ec972749fd9dc92b11b61deb20)
![{\displaystyle (\mathrm {A} +\mathrm {B} )e^{{\sqrt {-1}}by}=\mathrm {C} e^{{\sqrt {-1}}b'y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03d5407cb6c552604cbe44bbc1589c76b9bd8d47)
Comme cette relation doit avoir lieu identiquement, quel que
soit
il faut que :
![{\displaystyle b=b'\qquad \qquad \mathrm {A} +\mathrm {B} =\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42ba91021212c6dec0a5b9651797bc51aca95be7)