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CAS PARTICULIER DES ONDES PLANES
Dans ces conditions,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {d\xi }{dx}}&={\sqrt {-1}}a\xi \qquad &{\frac {d^{2}\xi }{dx^{2}}}&=-a^{2}\xi \\[1.5ex]{\frac {d^{2}\xi }{dy^{2}}}&=-b^{2}\xi \qquad &{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}&=-c^{2}\xi \\[1.5ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/317d49656632ce1805d0663939a65aea5254e154)
![{\displaystyle \Delta \xi =-(a^{2}+b^{2}+c^{2})\,\xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9709d2510d125b7edd820b7b503fca29c425c83)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=-p^{2}\xi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b6bc0cb4fd4054ee3afa6b23f9baf159e5f2f4)
Substituons, il vient :
(2)
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Il faut en outre que :
(3)
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ce qui donne :
![{\displaystyle 0={\sqrt {-1}}(a\xi +b\eta +c\zeta )={\sqrt {-1}}e^{{\sqrt {-1}}\mathrm {P} }(a\mathrm {A} +b\mathrm {B} +c\mathrm {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5719a5580f89a8f363841a39a2273d20299377d)
ou :
![{\displaystyle \mathrm {A} a+\mathrm {B} b+\mathrm {C} c=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/511342f55d2e70f7de9c2fbcf731b680f5122c1e)
équation exprimant que la vibration est dans le plan de
l’onde.
Ceci reste vrai quelles que soient les valeurs, réelles ou
imaginaires, de
En général nous
regarderons
comme réels :
sera toujours supposé réel.
Les plans ayant pour équation générale :
![{\displaystyle ax+by+cz=\mathrm {C} ^{\mathrm {te} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eb13d561f39b7c849a0ca09dc74031755801086)
s’appelleront les plans de l’onde.