236
THÉORIE DE LA DISPERSION DE HELMHOLTZ
Alors
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {d\xi _{1}}{dt}}&=-{\sqrt {-1}}\,p\xi _{1}\qquad &{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=-p^{2}\xi \\[1ex]{\frac {d^{2}\xi _{1}}{dt^{2}}}&=-p^{2}\xi _{1}&{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}&=-\alpha ^{2}\xi \\[1ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd259e16cae2e743d2b9f4d6c7a35fd65a42ca0)
Substituons dans les équations (6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}-\rho p^{2}\xi &=-\mu \alpha ^{2}\xi +\mathrm {P} _{1}(\xi _{1}-\xi )\\[0.5ex]-\rho _{1}p^{2}\xi _{1}&=\mathrm {P} _{1}(\xi -\xi _{1})-\mathrm {H} _{1}\xi _{1}+\mathrm {R} _{1}{\sqrt {-1}}\,p\xi _{1}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20bcdbfd16f5a6acd4eb6f4200c9475fbaf0155d)
ou :
![{\displaystyle {\begin{aligned}(-\rho p^{2}+\mu \alpha ^{2}+\mathrm {P} _{1})\,\xi &=\mathrm {P} _{1}\xi _{1}\\[0.5ex](-\rho _{1}p^{2}+\mathrm {P} _{1}+\mathrm {H} _{1}-{\sqrt {-1}}\,p\mathrm {R} _{1})\,\xi _{1}&=\mathrm {P} _{1}\xi .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0c71573cdf4618c2594fbc6750235993d706498)
Posons pour abréger
![{\displaystyle \rho _{1}p^{2}-\mathrm {P} _{1}-\mathrm {H} _{1}+{\sqrt {-1}}\,p\mathrm {R} _{1}=h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b72b5da0e37b6a41cb4fa12a4477af916069273a)
La seconde équation devient
![{\displaystyle -h\xi _{1}=\mathrm {P} _{1}\xi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df47ec6758bac002ae22d6f420fe8acfc6ddf717)
Multiplions les deux équations en croix,
et
s’éliminent
il reste :
(7)
|
|
|
sera en général une quantité complexe. Posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\alpha '+{\sqrt {-1}}\,k\\\xi &=\mathrm {A} e^{-kz+{\sqrt {-1}}\,\alpha 'z-{\sqrt {-1}}\,pt}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3ee5039b14ede99125c098fd5ecf778ef71af90)
et la partie réelle de
est :
![{\displaystyle \xi =\mathrm {A} e^{-kz}\cos(\alpha 'z-pt).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e888702d98cf2e387bb3fb30f81ded9d04c1ded)