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THÉORIE DE LA DISPERSION DE HELMHOLTZ
Ces relations montrent que, si à l’origine des temps
![{\displaystyle \theta ,\qquad \theta _{1},\qquad {\frac {d\theta }{dt}},\qquad {\frac {d\theta _{1}}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a902b5dcf1af94ee16d9fc1d74bcd5f98b961475)
sont nuls, il en est de même de toutes leurs dérivées par rapport
au temps : donc
et
sont identiquement nuls.
Par conséquent, si on part du repos,
et
sont toujours nuls.
Il en sera encore de même si le mouvement est périodique.
Posons en effet :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=\mathrm {A} e^{{\sqrt {-1}}\,pt}\\[1ex]\theta _{1}&=\mathrm {A} _{1}e^{{\sqrt {-1}}\,pt},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e027624e9142720c588801e77ef66faf47968d1c)
et
ne dépendant que de
Nous avons vu déjà que, si la partie réelle de cette expression
satisfait à des équations de la forme des équations (3) et (4),
l’expression entière y satisfait également.
Nous aurons :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}&=-p^{2}\theta \\[1ex]{\frac {d^{2}\theta _{1}}{dt^{2}}}&=-p^{2}\theta _{1}\\[1ex]{\frac {d\theta _{1}}{dt}}&={\sqrt {-1}}\,p\theta _{1}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea91888cbb8e0869d3fb97d51cfb211d9a37653c)
Substituons dans les équations (5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}-\rho p^{2}\theta &=\mathrm {P} _{1}(\theta _{1}-\theta )\\[1ex]-\rho _{1}p^{2}\theta _{1}&=\mathrm {P} _{1}(\theta -\theta _{1})-\mathrm {H} _{1}\theta _{1}-\mathrm {R} _{1}{\sqrt {-1}}\,p\theta _{1}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ef3a852fd0c36b94823a923fe0b8eddcb695429)
Dans la seconde équation le coefficient de
devant être
nul,
la première donne alors ![{\displaystyle \theta =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/383456f52ce425606579f083f118b5a4c28fc4f9)