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ONDES SPHÉRIQUES
Le premier membre doit être nul identiquement, ce qui
exige que le terme général soit nul. La fonction
doit donc
vérifier l’équation différentielle :
(6)
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La seule solution de cette équation qui reste finie pour
est un polynôme entier en
et
Posons :
![{\displaystyle \mathrm {U} _{n}={\frac {\mathrm {D} ^{n}(u^{2}-1)^{n}}{2^{n}n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29ba54e016ab776dd3c64af2b6e360522051944b)
![{\displaystyle \mathrm {R} _{n}=\int _{-1}^{+1}e^{{\sqrt {-1}}\,\alpha ru}\mathrm {U} _{n}\left({\sqrt {-1}}\right)^{n}\,du.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd6385262b857c002821547388e6632d23d2d9a6)
Cette expression est une fonction de
c’est un polynôme
entier en
et
par suite en
et
c’est la solution cherchée.
On vérifie d’ailleurs aisément que l’on a :
![{\displaystyle \mathrm {R} _{n}={\sqrt {\frac {\pi }{2\alpha r}}}\,\mathrm {J} _{n+{\frac {1}{2}}}(\alpha r)\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab2fa401bb9bc1995d8134f8df705cec7be815b6)
Donc
![{\displaystyle \mathrm {F} _{n}=\mathrm {A} _{n}\mathrm {R} _{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67d27bc1405b1414b46bc2cb6b773932b653afc9)
ne dépendant que du temps et
![{\displaystyle \xi =\sum \mathrm {A} _{n}\mathrm {R} _{n}\mathrm {X} _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a05aa7fe5a8193b9ef3f39f2706dd5e529f1ec14)
Les fonctions sphériques contiennent, comme cas particuliers,
les polynômes de Legendre.
![{\displaystyle \mathrm {X} _{n}(\theta )={\frac {\mathrm {D} ^{n}}{(d\cos \theta )^{n}}}{\frac {\left(\cos ^{2}\theta -1\right)^{n}}{2^{n}n!}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c20539aa219369f3aa21ac3f4722ae1059dc141)