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ONDES CYLINDRIQUES
Prenons le foyer comme origine des coordonnées polaires
définies par :
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin \theta \cos \omega \\y&=r\sin \theta \sin \omega \\z&=r\cos \theta .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa166e0e1b6c3ca28a09cf93faa33c1db9a64110)
Nous voulons trouver une fonction
de
qui vérifie
l’équation :
(1)
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À cet effet il est nécessaire de donner la définition des
fonctions sphériques et quelques-unes de leurs propriétés.
On appelle fonction sphérique d’ordre
une fonction
de
et de
qui multipliée par
donne un polynôme
homogène de degré
en
et satisfaisant à l’équation
![{\displaystyle \Delta \mathrm {P} _{n}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90c5ea5d85624efe13fab0618c6fe530c6a25852)
Une fonction quelconque
de
peut se mettre sous
la forme :
![{\displaystyle \xi =\sum \mathrm {F} _{n}\mathrm {X} _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99526bd98651bb96d6fc93d5f9b3e48ff4ffe5e9)
dépendant seulement de ![{\displaystyle r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10110093812676dd04a92ce4c8b75940c366330a)
Écrivons que
vérifie l’équation (1) :
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{dx^{2}}}=\sum {\frac {d^{2}(\mathrm {F_{n}X_{n}} )}{dx^{2}}}=\sum \mathrm {X} _{n}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{n}}{dx^{2}}}+2\sum {\frac {d\mathrm {X} _{n}}{dx}}{\frac {\mathrm {F} _{n}}{dx}}+\sum \mathrm {F} _{n}{\frac {d^{2}\mathrm {X} _{n}}{dx^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d23e39fac63f32b8e26ebeb2a77d2c05ccf44c7a)
![{\displaystyle \Delta \xi =\sum \mathrm {X} _{n}\Delta \mathrm {F} _{n}+2\sum \left({\frac {d\mathrm {X} _{n}}{dx}}{\frac {d\mathrm {F} _{n}}{dx}}+{\frac {d\mathrm {X} _{n}}{dy}}{\frac {d\mathrm {F} _{n}}{dy}}+{\frac {d\mathrm {X} _{n}}{dz}}{\frac {d\mathrm {F} _{n}}{dz}}\right)+\sum \mathrm {F} _{n}\Delta \mathrm {X} _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/145c36505f1b35a5c5fb4b08a5bbc63a38d97b9d)
Le second terme est nul, en effet :
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} _{n}}{dx}}={\frac {x}{r}}{\frac {d\mathrm {F} _{n}}{dr}},\;\mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e25cd17e7c0b31599f38712f49448511f9f7f4e7)
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {X} _{n}}{dx}}{\frac {d\mathrm {F} _{n}}{dx}}+{\frac {d\mathrm {X} _{n}}{dy}}{\frac {d\mathrm {F} _{n}}{dy}}+{\frac {d\mathrm {X} _{n}}{dz}}{\frac {d\mathrm {F} _{n}}{dz}}={\frac {1}{r}}{\frac {d\mathrm {F} _{n}}{dr}}\left[x{\frac {d\mathrm {X} _{n}}{dx}}+y{\frac {d\mathrm {X} _{n}}{dy}}+z{\frac {d\mathrm {X} _{n}}{dz}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d676822233361f9f86ccabbee4e39d4f68dcaea)