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ONDES CYLINDRIQUES
sont fonctions de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} _{n}&=\mathrm {A} '_{n}\cos pt+\mathrm {A} ''_{n}\sin pt\\\mathrm {B} _{n}&=\mathrm {B} '_{n}\cos pt+\mathrm {B} ''_{n}\sin pt.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d2242a640c12206995070437c337cea72a7170f)
Le plan des
étant un plan de symétrie,
ne change pas
quand on remplace
par
les termes qui contiennent les
sinus doivent donc être nuls, et l’expression de
se réduire à :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=\sum \mathrm {A} _{n}\mathrm {J} _{n}(\alpha \rho )\cos n\omega \\[1ex]&=\sum \mathrm {A} _{2n}\mathrm {J} _{2n}(\alpha \rho )\cos 2n\omega +\sum \mathrm {A} _{2n+1}\mathrm {J} _{2n+1}(\alpha \rho )\cos(2n+1)\omega .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68a0017ce1d6284fedcc7072370399e13490feff)
Si
devient très grand, nous pourrons calculer une valeur
asymptotique de
Nous avons donné déjà (85) une formule
asymptotique pour
![{\displaystyle \mathrm {J} _{0}(\rho )={\sqrt {\frac {2}{\pi \rho }}}\,\cos \left(\rho -{\frac {\pi }{4}}\right)\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3346733716dc9e403a7eb2df4dbf3c4026a9f6c)
D’autre part, les fonctions
sont liées par la relation de
récurrence :
![{\displaystyle n\mathrm {J} _{n}(\rho )={\frac {\rho }{2}}\left[\mathrm {J} _{n-1}(\rho )+\mathrm {J} _{n+1}(\rho )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e18715b2e1e39b08ed710f6b581ac8a1ba0f657)
ou
![{\displaystyle \mathrm {J} _{n-1}(\rho )+\mathrm {J} _{n+1}(\rho )={\frac {2n}{\rho }}\,\mathrm {J} _{n}(\rho )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9681f41496af8cb4d9be06393738f421c2c7dc8)
quand
devient très grand, le second membre tend vers
et
approximativement :
![{\displaystyle \mathrm {J} _{n-1}(\rho )+\mathrm {J} _{n+1}(\rho )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c5dace335268716e7f5523ec71524d86ac675b7)