Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 2, 1892.djvu/172

160

PRINCIPE DE HUYGHENS

paire :

$\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {{\sqrt {-1}}\,\alpha }{2r_{0}}}\,x^{2}}\,{\frac {\delta \,dx}{x^{2}+\delta ^{2}}}=2\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {{\sqrt {-1}}\,\alpha }{2r_{0}}}\,x^{2}}\,{\frac {\delta \,dx}{x^{2}+\delta ^{2}}}$

ce qui ramène à calculer

$\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {{\sqrt {-1}}\,\alpha }{2r_{0}}}\,x^{2}}\,{\frac {\delta \,dx}{x^{2}+\delta ^{2}}},$

$x$ décrivant l’axe OA des quantités réelles.

Menons une droite $\mathrm {OB}$ inclinée à 45° sur $\mathrm {OA}$
Fig. 19. et du point $\mathrm {O}$ avec un rayon très grand, décrivons l’arc de cercle $\mathrm {AB}$ (fig. 19). Comme à l’intérieur du secteur $\mathrm {OAB} ,$ l’intégrale ne présente aucun point singulier, il est indifférent de prendre le chemin direct $\mathrm {OA}$ ou le chemin $\mathrm {OBA} .$ Mais le long de $\mathrm {BA} ,$ l’intégrale est d’autant plus petite que le rayon $\mathrm {OA}$ est plus grand, il n’y a donc pas de différence entre les deux chemins $\mathrm {OA}$ et $\mathrm {OB} .$

Posons :

${\frac {\alpha x^{2}}{2r_{0}}}=-{\sqrt {-1}}\,y^{2}$

ou :

$x={\sqrt {-{\sqrt {-1}}}}\,y\,{\sqrt {\frac {2r_{0}}{\alpha }}}$