142
PRINCIPE DE HUYGHENS
Pour appliquer ce théorème au cas qui nous occupe, supposons
que
vérifie l’équation :
(1)
|
|
|
et que :
![{\displaystyle \varphi ={\frac {e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a630df20e0c9113c458ab2843017d10b605828f5)
étant la distance des deux points
et
on
aura bien :
![{\displaystyle \lim \varphi r=1\;\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c7716d5847ae21d8482d32c2be56ea0cb82b73e)
pour
![{\displaystyle \;\;r=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a70bf0d0c5d7698a1a3ab0195f563926ab56a72f)
Nous aurons encore :
(2)
|
|
|
Multiplions (1) par
la seconde par
et ajoutons :
![{\displaystyle \varphi \,\Delta \xi -\xi \,\Delta \varphi =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/437b9469d3f4495bbb5a4e2ab95d5a0f99c5af6b)
Dans la formule de Green, l’intégrale du second membre
disparaîtra donc, et il restera :
![{\displaystyle \int \left(\xi \,{\frac {d\varphi }{dn}}-\varphi \,{\frac {d\xi }{dn}}\right)d\omega ={\bigg |}_{\displaystyle -4\pi \xi '}^{\displaystyle \;0,}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84cb56687acf4dd6b2d6b3d5669d50af319d8a29)
si le point
est extérieur ;
si le point est
intérieur au volume ![{\displaystyle \mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62cd2ca7157c8ae9fcf10598339b774c8294d5ce)
Nous pouvons d’ailleurs écrire, en permutant les accents :
![{\displaystyle \int \left(\xi '\,{\frac {d\varphi '}{dn}}-\varphi '\,{\frac {d\xi '}{dn}}\right)d\omega '={\bigg |}_{\displaystyle -4\pi \xi }^{\displaystyle \;0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f2e8f6d623cb44acb05ae626d70bf5c0356a498)