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ÉTUDE DE L’ÉQUATION FONDAMENTALE
98. Principe de Huyghens. — En poursuivant l’étude des
analogies que présentent les fonctions
avec le potentiel
newtonien, nous pourrons en déduire, ainsi que l’a fait pour
la première fois Kirchhoff, le principe de Huyghens comme
une généralisation d’une conséquence du théorème de Green.
Rappelons d’abord l’énoncé de ce théorème.
Considérons un certain volume
limité par une surface
fermée
soient
un élément du volume
un élément de la surface
est la distance du point
au centre
de gravité
de l’élément
de la surface qui limite le
volume. Les intégrales doubles doivent être étendues à tous
les éléments
de cette surface ; les intégrales triples, à tous
les éléments
de
Deux cas sont à distinguer :
1o Le point
est extérieur au volume
2o Le point
est intérieur au volume.
Je conviens enfin de désigner par
la valeur de
au point
On a, d’après le théorème de Green :
![{\displaystyle \int \left(\xi {\frac {d\varphi }{dn}}-\varphi {\frac {d\xi }{dn}}\right)\,d\omega =\int \left(\xi \,\Delta \varphi -\varphi \,\Delta \xi \right)\,d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55fe45755b7dabb3ad60baf89e565d84ad08b722)
si les fonctions
et
sont finies et continues ainsi que leurs
dérivées à l’intérieur du volume ![{\displaystyle \mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62cd2ca7157c8ae9fcf10598339b774c8294d5ce)
Supposons maintenant que,
jouissant encore de toutes ces
propriétés,
devienne infini en un point
de l’intérieur
du volume, mais de manière que
pour
L’énoncé du théorème doit alors être modifié et il faut écrire :
![{\displaystyle \int \left(\xi {\frac {d\varphi }{dn}}-\varphi {\frac {d\xi }{dn}}\right)\,d\omega =\int \left(\xi \,\Delta \varphi -\varphi \,\Delta \xi \right)\,d\tau -4\pi \xi ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb0485be66e1f63fb7b794d476542b5677813b63)
étant la valeur de
pour ![{\displaystyle r=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/104782127065b7cffa391dde1ce19a40e98d2bac)