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ÉTUDE DE L’ÉQUATION FONDAMENTALE
D’après le théorème de Green,
![{\displaystyle \int \sum {\frac {d\xi }{dx}}{\frac {d^{2}\xi }{dx\,dt}}\,d\tau =\int {\frac {d\xi }{dt}}{\frac {d\xi }{dn}}\,d\omega -\int {\frac {d\xi }{dt}}\Delta \xi \,d\tau .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa499aaf74180bfea62520a844f72d081319b066)
Mais sur la surface
et
donc la première intégrale
est nulle et il reste seulement
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {W} }{dt}}=\int {\frac {d\xi }{dt}}\left({\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}-\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi \right)\,d\tau ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91e028c52cd030ee270dd9f637ccf70ed51b8c0c)
la parenthèse est nulle identiquement ; donc ![{\displaystyle \mathrm {W} =\mathrm {C^{te}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7fe72c350df590d741cefa477dbba5f27f25359)
Pour
est nul par hypothèse.
Par conséquent
est identiquement nul. Comme le coefficient
de
dans
est une somme de carrés, il faut que
chacun de ces carrés soit nul : c’est-à-dire que
![{\displaystyle {\frac {d\xi }{dt}}=0\qquad {\frac {d\xi }{dx}}={\frac {d\xi }{dy}}={\frac {d\xi }{dz}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26ed295aa12f5cfd2cf9a5dfb653e6aef69c92c1)
autrement dit que
soit identiquement nul.
Supposons maintenant qu’on donne les valeurs que prennent
et
en chaque point du volume pour
soient par
exemple
et
étant des fonctions des coordonnées
et la valeur de
sur la surface limite :
sera une fonction de
supposons de plus qu’à
l’intérieur du volume
vérifie l’équation :
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}-\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi =4\pi \mathrm {V} ^{2}f(x,\,y,\,z,\,t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd4de6654ba1aa6910cd7651e510282541172a96)
![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
étant une fonction donnée.