124
PRINCIPE DE HUYGHENS
La valeur de
correspondant au phénomène physique sera
la partie réelle de cette dernière solution.
Posons :
![{\displaystyle \xi _{1}-{\sqrt {-1}}\xi _{2}=\xi _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c04d243c867e461a42789955bb17e35e9c8c0fda)
Alors :
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi _{0}e^{{\sqrt {-1}}pt}}{dt^{2}}}=-p^{2}\xi _{0}e^{{\sqrt {-1}}pt}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b71aec6752b277f85c8118f5296b83d8b07f313)
Remplaçons dans l’équation fondamentale
![{\displaystyle \mathrm {V} ^{2}\Delta \xi ={\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19e5ace962b77f620446a71e5af5a2a535dbeeac)
et supprimons le facteur
il vient :
![{\displaystyle \mathrm {V} ^{2}\Delta \xi _{0}=-p^{2}\xi _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/938ac1ee5cad8932ff2f958bf941ddd2fc71431f)
ou :
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi _{1}&=-p^{2}\xi _{1}\\[1ex]\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi _{2}&=-p^{2}\xi _{2}\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49609751d4045f3bd952cd80b29b29fafab5c214)
Posons, pour abréger,
ceci pourra s’écrire :
![{\displaystyle \Delta \xi +\alpha ^{2}\xi =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/769b1f2ad5e1a3814af5b6f615a4c42589b12839)
Nous avons ainsi à considérer deux équations. Ces équations
rappellent par leur forme celle de Laplace
qui définit
le potentiel newtonien.
90. Nous allons tâcher de faire ressortir les relations qui
peuvent exister, en raison de cette analogie, entre les fonctions
et le potentiel newtonien.
À cet effet, supposons que
ne dépende que de
et de