Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 2, 1892.djvu/130

118

PROPAGATION RECTILIGNE DE LA LUMIÈRE

reste :

${\frac {d}{dw}}\left(s\,{\frac {d\xi }{dw}}\right)=-p\,\sin \omega \left({\frac {2s\,d\mathrm {A} +\mathrm {A} \,ds}{dw}}\right)-p^{2}\mathrm {A} s\cos \omega .$

L’équation fondamentale devient donc : en remarquant que les termes en $p^{2}$ se détruisent et supprimant les facteurs communs :

${\frac {1}{\mathrm {V} }}\,s\,{\frac {d\mathrm {A} }{dt}}=-s\,{\frac {d\mathrm {A} }{dw}}-{\frac {1}{2}}\,\mathrm {A} \,{\frac {ds}{dw}}$

ou

${\frac {\sqrt {s}}{\mathrm {V} }}{\frac {d\mathrm {A} }{dt}}=-{\sqrt {s}}\,{\frac {d\mathrm {A} }{dw}}-\mathrm {A} \,{\frac {d{\sqrt {s}}}{dw}}$

comme $s$ est indépendant de $t$

${\frac {1}{\mathrm {V} }}\,{\frac {d\mathrm {A} {\sqrt {s}}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {A} {\sqrt {s}}}{dw}}\cdot$

Intégrons

${\begin{aligned}&\mathrm {A} {\sqrt {s}}=f(u,\,v,\,w-\mathrm {V} t),\\[1ex]&\mathrm {A} ={\frac {1}{\sqrt {s}}}f(u,\,v,\,w-\mathrm {V} t).\\\end{aligned}}$

La perturbation se propage donc avec une vitesse $\mathrm {V}$ rectiligne dans la direction des normales

$\left\{{\begin{aligned}u=\mathrm {C^{te}} \\v=\mathrm {C^{te}} \\\end{aligned}}\right.$

aux surfaces parallèles $w=\mathrm {C^{te}} .$

L’amplitude varie comme ${\frac {1}{\sqrt {s}}}$ et par suite l’intensité est proportionnelle à ${\frac {1}{s}}\,;$ c’est-à-dire qu’elle est en raison inverse de la section du faisceau.