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PROPAGATION DE LA LUMIÈRE NON PARALLÈLE
systèmes de surfaces :
![{\displaystyle u=\mathrm {C^{te}} ,\quad v=\mathrm {C^{te}} ,\quad w=\mathrm {C^{te}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbe78f36a4ab28044427aede728360f6d9be83c1)
Nous prendrons comme nouvelles coordonnées
et
nous supposerons que les surfaces forment un système triple
orthogonal.
Considérons deux points dont les coordonnées soient
autrement dit deux points infiniment voisins
situés sur une normale à la surface
j’appellerai
la distance de ces deux points. De même
sera la distance
de deux points
infiniment voisins
situés sur une normale à la surface
la
distance des deux points
etc.,
étant des fonctions de
On démontre alors que :
![{\displaystyle abc\,\Delta \xi ={\frac {d}{du}}\left({\frac {bc}{a}}{\frac {d\xi }{du}}\right)+{\frac {d}{dv}}\left({\frac {ca}{b}}{\frac {d\xi }{dv}}\right)+{\frac {d}{dw}}\left({\frac {ab}{c}}{\frac {d\xi }{dw}}\right)\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe9176a54efe419bac4229f864c34f7ed27b64b)
Et l’équation
![{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {V} ^{2}}}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\Delta \xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6444f200f41b25ae22694ad4b50cc157025732f3)
devient dans ce nouveau système
![{\displaystyle {\frac {abc}{\mathrm {V} ^{2}}}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}={\frac {d}{du}}\left({\frac {bc}{a}}{\frac {d\xi }{du}}\right)+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44fab339cc8e6b28b16487c459267965ddd83588)
Nous ferons en outre sur les systèmes de surfaces une
hypothèse particulière. Les surfaces
seront des
surfaces parallèles : les trajectoires orthogonales
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}u=\mathrm {C^{te}} \\v=\mathrm {C^{te}} \\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b40cca730d8407067a9b04bb30a5b775f3893820)