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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
quelle doit être la forme de cette fonction pour satisfaire aux équations du mouvement.
La quantité
est une fonction linéaire et homogène de
et de ses deux premières dérivées par rapport à
nous pouvons l’écrire
![{\displaystyle \Delta \xi =\mathrm {A} u+\mathrm {B} {\frac {du}{dr}}+\mathrm {C} {\frac {d^{2}u}{dr^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/271af2ea3c5602f27fbbd1518fa43171288dd840)
67. La valeur des coefficients
pourrait s’obtenir en calculant les dérivées secondes de
par rapport à
et les additionnant, mais il est plus simple de les déterminer en faisant des hypothèses particulières sur la fonction
Supposons d’abord que l’on ait
on aura
C’est la forme de la fonction potentielle dans l’attraction de deux points suivant la loi de Newton. On doit donc avoir
et comme l’expression de
se réduit à
dans ce cas particulier,
doit être nul.
Prenons
nous aurons
et par suite
D’autre part, nous avons
![{\displaystyle {\frac {du}{dr}}=1,\qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {d^{2}u}{dr^{2}}}=0;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6c645c212cc210f43347d1ee4549e69d0e635c2)
par conséquent, comme
est nul d’après ce qui précède.
![{\displaystyle \Delta \xi =\mathrm {B} {\frac {du}{dr}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/886ea227c882b3b398d8ba6a5cf1b06034848cb9)
Le coefficient
doit donc aussi être nul.
Pour trouver le coefficient
faisons
la dérivée seconde de cette fonction par rapport à
sera égale à
et la valeur de
se réduira à
![{\displaystyle \Delta \xi =6\mathrm {C} r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d304f1e7d2e29baa3bac72b6a957e2dd144dd92)