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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
Pendant la durée d’une vibration
et
et, par suite
peuvent être considérés comme des constantes ;
prend toutes les valeurs comprises entre
et
On aura donc, pour la valeur moyenne de
pendant la durée d’une vibration, une quantité proportionnelle à l’intégrale de
prise entre
et
Convenons de représenter la valeur moyenne d’une quantité par cette quantité placée entre crochets ; nous aurons
![{\displaystyle \left[\mathrm {A} _{0}^{2}\cos ^{2}\omega \right]={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {A} _{0}^{2}\int _{0}^{2\pi }\cos ^{2}\omega \,d\omega ={\frac {\mathrm {A} _{0}^{2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e046147d90614b01e17ea1dc877e15f371a48b)
![{\displaystyle \left[{\mathrm {A} '_{0}}^{2}\cos ^{2}\left(\omega +\varepsilon \right)\right]={\frac {1}{2\pi }}{\mathrm {A} '_{0}}^{2}\int _{0}^{2\pi }\cos ^{2}(\omega +\varepsilon )d\omega ={\frac {{\mathrm {A} '_{0}}^{2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a51d86ed727305ea0d54cc8cb855c3259474bb2d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[2\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} '_{0}\cos \omega \cos(\omega +\varepsilon )\right]&={\frac {1}{2\pi }}2\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} '_{0}\int _{0}^{2\pi }\cos \omega \cos(\omega +\varepsilon )d\omega \\[1.5ex]&={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} '_{0}\int _{0}^{2\pi }[\cos(2\omega +\varepsilon )+\cos \varepsilon ]d\omega \\[1.5ex]&=\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} '_{0}\cos \varepsilon .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd551ce6b2712f98840549777b41d127f721c2c)
et par conséquent
![{\displaystyle \left[\xi ^{2}\right]={\frac {\mathrm {A} _{0}^{2}}{2}}+{\frac {{\mathrm {A} '_{0}}^{2}}{2}}+\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} '_{0}\cos \varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31cee64b419051396fbe78e9cc117e988bd44908)
Nous aurions, pour la valeur moyenne de
pendant la durée d’une vibration,
![{\displaystyle \left[\eta ^{2}\right]={\frac {\mathrm {B} _{0}^{2}}{2}}+{\frac {{\mathrm {B} '_{0}}^{2}}{2}}+\mathrm {B} _{0}\mathrm {B} '_{0}\cos \varepsilon _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e69b7b1bc196ea5049578627c0b8cc57c2ef40dd)