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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
onde plane, soient nuls, et cherchons à satisfaire à l’équation qui donne
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}=\mathrm {V} _{1}^{2}\Delta \zeta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc719c9e1a11c50124267d65c682df3d9c70765a)
en posant
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En calculant les dérivées secondes de cette expression par rapport à
et à
et en portant leurs valeurs dans l’équation du mouvement, on obtient la condition
![{\displaystyle \delta ^{2}=\mathrm {V} _{1}^{2}\gamma ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db2a386b3ac916698fbaf2f41b1b4a31720eb7a2)
La quantité
étant purement imaginaire par suite de la périodicité du mouvement vibratoire, son carré est négatif. Cauchy s’étant placé dans l’hypothèse
on a
par conséquent
est réel et l’exponentielle qui satisfait à l’équation du mouvement est
![{\displaystyle \zeta =\mathrm {C} e^{\gamma z+{\frac {2i\pi t}{\tau }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d25464473d3f0cf8c89fbe997e7af159651c98b)
Sa partie réelle est
![{\displaystyle \zeta =\mathrm {C} _{0}e^{\gamma z}\cos {\frac {2\pi t}{\tau }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b022d33c94f50d5fe18f6e2c29f5d3f18aa9561)
Si nous supposons
l’amplitude du mouvement vibratoire décroîtra très rapidement quand on s’éloignera du plan
dans le sens des
positifs ; nous aurons donc un rayon évanescent.
54. Trajectoire des molécules d’éther dans les mouvements transversaux. — Si nous posons
![{\displaystyle {\frac {2\pi }{\lambda }}\left(z+\mathrm {V} t\right)+\varphi =\omega ,\qquad \qquad \varphi _{1}-\varphi =\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02dbbf3a997d34097cfb3b9afe319b333bdf514c)