62
THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
Supposons maintenant le plan
imaginaire. L’équation de ce plan pourra se mettre sous la forme
les plans
et
étant les plans bissecteurs du plan imaginaire et de son conjugué. Prenons
pour plan des
pour plan des
l’équation du plan de l’onde devient
![{\displaystyle \alpha x+i\varepsilon z=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35cf8851b32f5ac703cd090daf09cba8825aee0d)
La condition
donne, dans ce cas,
![{\displaystyle \mathrm {A} \alpha +\mathrm {C} i\varepsilon =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3be560140669d6b93154119061a2699382fe7252)
relation qui montre que le rapport
est imaginaire. À cause de la périodicité du mouvement lumineux on a
![{\displaystyle \delta ^{2}=-{\frac {4\pi ^{2}}{\tau ^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de295a38f09823e70c2a8cb154fee7ed0de6979)
et la condition
donne
![{\displaystyle -{\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}=\alpha ^{2}-\varepsilon ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd3455ae8dabc302c5d1bdd58af79aeb647eb780)
Il en résulte que
doit être plus grand que
La solution de la première équation du mouvement est
![{\displaystyle \xi =\mathrm {A} _{0}e^{\alpha x+i\varepsilon z+{\frac {2i\pi t}{\tau }}+i\varphi }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6945a58e53ebf614eaa436bb1fc0ac03d1ccb96e)
En en prenant la partie réelle, on obtient, pour le déplacement
suivant l’axe des ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![{\displaystyle \xi =\mathrm {A} _{0}e^{\alpha x}\cos \left(\varepsilon z+\varphi +{\frac {2\pi t}{\tau }}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27331eb8e7bb3d51fa1abb9cec501a7fdebf489d)
On aurait deux expressions analogues pour les composantes
et
du déplacement suivant les deux autres axes.