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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
50. Résolution des équations des mouvements transversaux. — Les équations des mouvements transversaux s’obtiennent en faisant
dans les équations (1) ; elles sont
(2)
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Nous allons chercher à satisfaire à ces équations en posant
![{\displaystyle \xi =\mathrm {A} e^{\mathrm {P} },\qquad \qquad \eta =\mathrm {B} e^{\mathrm {P} },\qquad \qquad \zeta =\mathrm {C} e^{\mathrm {P} },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba6090f1354f4d35c0ce41f9b2a047fc3290b975)
étant des constantes et
un polynôme du premier degré et homogène par rapport aux variables
![{\displaystyle t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea3ad87830a1055c7b85c04cf940cfd3b847ae6)
![{\displaystyle \mathrm {P} =\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b55cd826b8694bdcbe3155fa1e25a20c0f89bb2)
Nous aurons, en différentiant
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{6}{\frac {d\xi }{dx}}&=\mathrm {A} \alpha e^{\mathrm {P} },&\qquad {\frac {d^{2}\xi }{dx^{2}}}&=\mathrm {A} \alpha ^{2}e^{\mathrm {P} },&\qquad {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=\mathrm {A} \delta ^{2}e^{\mathrm {P} },\\[1.5ex]{\frac {d\eta }{dy}}&=\mathrm {B} \beta e^{\mathrm {P} },&\qquad {\frac {d^{2}\eta }{dy^{2}}}&=\mathrm {B} \beta ^{2}e^{\mathrm {P} },&\qquad {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&=\mathrm {B} \delta ^{2}e^{\mathrm {P} },\\[1.5ex]{\frac {d\zeta }{dz}}&=\mathrm {C} \gamma e^{\mathrm {P} },&\qquad {\frac {d^{2}\zeta }{dz^{2}}}&=\mathrm {C} \gamma ^{2}e^{\mathrm {P} },&\qquad {\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}&=\mathrm {C} \delta ^{2}e^{\mathrm {P} }.\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dd437f79ebb9c1bc865702af08f71fa874b4194)
Par conséquent
![{\displaystyle \Theta ={\frac {d\xi }{dx}}+{\frac {d\eta }{dy}}+{\frac {d\zeta }{dz}}=\left(\mathrm {A} \alpha +\mathrm {B} \beta +\mathrm {C} \gamma \right)e^{\mathrm {P} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eebddf6bb1f5b8b5896bc94986fc206a8f870fc4)
![{\displaystyle \Delta \xi ={\frac {d^{2}\xi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\xi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}=\mathrm {A} e^{\mathrm {P} }\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c8216302c84dc13b64ce966f0071a31824a8d0)
En remplaçant, dans les équations (2),
et les dérivées secondes de
par rapport au temps, par leurs valeurs, on obtient :
![{\displaystyle \delta ^{2}=\mathrm {V} ^{2}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2230595d251e74489201f62744e23ee5be9ed805)