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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
troisième de
par rapport au temps est nulle pour
Les autres dérivées seraient également nulles, ce qui exige que la fonction
soit identiquement nulle. Les petits mouvements pour lesquels la fonction
est identiquement nulle sont les mouvements appelés transversaux.
35. Considérons les quantités
![{\displaystyle u={\frac {d\eta }{dz}}-{\frac {d\zeta }{dy}},\qquad v={\frac {d\zeta }{dx}}-{\frac {d\xi }{dz}},\qquad w={\frac {d\xi }{dy}}-{\frac {d\eta }{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2881ae8d897947f757c82ad3c44f31021fde0b03)
et cherchons l’équation différentielle qui les lie. Pour cela, différentions la seconde des équations (38) par rapport à
la troisième par rapport à
et retranchons : nous aurons
ou
![{\displaystyle -\rho {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}=2\mu \,\Delta u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f4a1400b4000339f3f5e892e60dede410dd592d)
Nous obtiendrions de la même manière deux autres relations analogues :
![{\displaystyle {\begin{aligned}-\rho {\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}&=2\mu \,\Delta v,\\[1.5ex]-\rho {\frac {d^{2}w}{dt^{2}}}&=2\mu \,\Delta w.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bf290a8957dc1de7e4362441d1ca8d491e23294)
Si, pour
les quantités
et leurs dérivées du
premier ordre sont nulles, les relations précédentes montrent
que, pour cette même valeur de
les dérivées de second ordre
le sont aussi. En différentiant ces relations, on en obtiendrait
de nouvelles montrant que les dérivées du troisième ordre