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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
cette intégrale devient, lorsqu’on prend pour variables
![{\displaystyle \gamma \,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc00272dfebf8cd61042348081187d6b2411d5b9)
![{\displaystyle \iiint \Phi (\alpha ,\beta ,\gamma ){\frac {\mathrm {D} (x,y,z)}{\mathrm {D} (\alpha ,\beta ,\gamma )}}\,d\alpha \,d\beta \,d\gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faef322fee10a6060642cd20a6ff5c198eeec0b4)
désignant le déterminant fonctionnel de
par rapport à
En nous appuyant sur ce théorème nous aurons, pour l’expression du volume après la déformation :
![{\displaystyle \iiint {\frac {\mathrm {D} \left[\left(x+\xi \right),\,\left(y+\eta \right),\,\left(z+\zeta \right)\right]}{\mathrm {D} \left(x,\,y,\,z\right)}}\,dx\,dy\,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ce39afba0c84f86721d7ac36fbd68ec5f8d6d7f)
Le déterminant fonctionnel qui entre dans cette intégrale a pour valeur :
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}1+\xi '_{x}&\xi '_{y}&\xi '_{z}\\\eta '_{x}&1+\eta '_{y}&\eta '_{z}\\\zeta '_{x}&\zeta '_{y}&1+\zeta '_{z}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e92331cb79be2ff03af6c845fbd6eb645388b8ee)
et si, dans le développement de ce déterminant, on néglige les puissances des dérivées qui sont supérieures au premier degré, on obtient :
![{\displaystyle 1+\xi '_{x}+\eta '_{y}+\zeta '_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72823ac6b50a56090e1e6466f6cf5dca058ed94d)
c’est-à-dire
![{\displaystyle 1+\Theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f624ead44553f6cde0e747dad085747c250d4ce)
Si nous portons cette valeur du déterminant fonctionnel dans l’intégrale qui donne le volume après la déformation, nous obtenons :
![{\displaystyle \iiint (1+\Theta )dx\,dy\,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb71caba7749bb3e838795e93682327566b61dd)