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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
avoir différentiées respectivement par rapport à
et
il vient :
![{\displaystyle {\frac {d(\rho \xi )}{dx}}+{\frac {d(\rho \eta )}{dy}}+{\frac {d(\rho \zeta )}{dz}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e76911721b35cfa070ac7cb2c740a65b0267d90a)
ce qui nous donne ici,
![{\displaystyle {\frac {d(\rho \zeta )}{dz}}=ia\rho \xi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a86c07051f799bcf9b96110d78d2e321585020c)
Cela prouve d’abord que
est une fonction continue et
comme
est discontinu,
ne pourra être continu à moins
d’être nul.
De plus
étant continu il en résulte que
![{\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {d(\rho \zeta )}{dz}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e30d97e021b388e1d8b028b56a328b00ed49ea83)
est continu. Mais dans les deux milieux
est constant
de sorte que cette expression se réduit à ![{\displaystyle {\frac {d\zeta }{dz}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c294ef8816bcc74e596f5e837b1a792272d8a01c)
Ainsi, par le calcul rigoureux qui précède nous retrouvons
les mêmes résultats auxquels une intuition heureuse avait
conduit Fresnel : les fonctions
et
sont continues, tandis que
est discontinu.
En écrivant ces conditions, il vient
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auxquelles il faut joindre les conditions de transversalité :
![{\displaystyle \mathrm {A} a+\mathrm {C} c=\mathrm {A} 'a-\mathrm {C} 'c=\mathrm {A} ''a-\mathrm {C} ''c'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04a7eebe259bbc68ad0d9994575efa50e3555bb2)