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DOUBLE RÉFRACTION
Si nous supposons que
soit la vitesse la plus voisine de
le rapport
des carrés des axes de l’ellipse qui
correspond à cette vitesse sera plus grand que
et représentera le
carré du rapport du grand axe au petit axe ; la valeur de
est alors
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {V} '^{2}-c}{\mathrm {V} '^{2}-a}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/476b04b13769d7353d41f38b280ec950ba76fbee)
Pour l’autre vitesse
est au contraire plus petit que
l’unité, et le carré du rapport du grand axe au plus petit axe
de l’ellipse correspondant à cette vitesse est
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {V} ''^{2}-a}{\mathrm {V} ''^{2}-c}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ae320831eec1ed8844423ccc7ce4dea179301fa)
Si les deux ellipses sont égales, nous devons avoir
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {V} '^{2}-c}{\mathrm {V} '^{2}-a}}={\frac {\mathrm {V} ''^{2}-a}{\mathrm {V} ''^{2}-c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/573c2c4dce211cf438489e4b64d6138a08643ea7)
ou
![{\displaystyle \mathrm {V} '^{2}+\mathrm {V} ''^{2}=a+c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2acd0c49039bb358003ceb644ef20791f4dbcc8f)
Or, si nous développons l’équation (3) qui donne les vitesses,
nous obtenons
![{\displaystyle \mathrm {V} ^{4}-(a+c)\mathrm {V} ^{2}+ac-\beta '^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c962e6a73d832498c275cd568d8240c326507ba7)
et nous avons bien pour la somme des racines
et
de
cette équation
![{\displaystyle \mathrm {V} '^{2}+\mathrm {V} ''^{2}=a+c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2acd0c49039bb358003ceb644ef20791f4dbcc8f)
Ces deux ellipses égales ont leurs grands axes perpendiculaires
l’un à l’autre, puisque le rapport
du carré de l’axe
dirigé suivant Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/ » :): {\displaystyle \mathrm{O}x}
au carré de l’axe dirigé suivant
passe