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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
Le coefficient du double produit
est
Il est facile de voir, en développant les carrés de
et de
que les produits
ont pour coefficients cette même quantité. Les coefficients des neuf doubles produits qui entrent dans
se réduisent donc aux trois suivants :
![{\displaystyle \sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\mathrm {D} x\,\mathrm {D} y,\qquad \sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\mathrm {D} y\,\mathrm {D} z,\qquad \sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\mathrm {D} z\,\mathrm {D} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31faf9f7629526a54e606e532b1899e309e3dcda)
Par conséquent le premier terme de
ne contient que six coefficients arbitraires. Ces six coefficients sont nuls quand on suppose la pression extérieure nulle dans l’état d’équilibre, ainsi que nous l’avons établi au no 10.
16. Les deux derniers termes de
sont homogènes en
et
En remplaçant, dans l’expression de
![{\displaystyle \rho _{1}=2\left(\mathrm {D} x\,\mathrm {D} \xi +\mathrm {D} y\,\mathrm {D} \eta +\mathrm {D} z\,\mathrm {D} \zeta \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96b13c214f0b477c93a6401dfc912c3d7c9e5ddf)
![{\displaystyle \mathrm {D} \xi ,\,\mathrm {D} \eta ,\,\mathrm {D} \zeta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/276f55afea8877482762b2ffc1e1004142f50c2f)
par leurs valeurs
(21), on trouve :
(22)
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c’est-à-dire que
est une fonction linéaire et homogène des six quantités
![{\displaystyle {\frac {d\xi }{dx}},\quad {\frac {d\eta }{dy}},\quad {\frac {d\zeta }{dz}},\quad {\frac {d\xi }{dy}}+{\frac {d\eta }{dx}},\quad {\frac {d\eta }{dz}}+{\frac {d\zeta }{dy}},\quad {\frac {d\zeta }{dx}}+{\frac {d\xi }{dz}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b655b1f7978fb493b6e651a178e5c0f9616074b2)