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DOUBLE RÉFRACTION
et
par un même facteur, ce qui revient à changer simultanément
et dans un même rapport l’unité de longueur et celle de temps.
Soit :
![{\displaystyle \mathrm {A} \lambda ^{P}\mathrm {D} ^{m}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7d2e471994a0f9c1b1c708bc73164b66dd2c895)
un terme quelconque du premier membre de notre équation ;
est une constante indépendante de
et
une des
dérivées partielles d’ordre
de
Quand on changera
et
en
et
ce terme se trouvera multiplié par
Pour que l’équation ne change pas, il faut que
ait même valeur pour tous les termes de l’équation. Nous multiplierons
notre équation par une puissance de
telle que
soit égal à ![{\displaystyle 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af8c4e445819b13a052647aa3eb2be990b0a4b24)
Alors les coefficients des dérivées du premier ordre ne contiendront
pas
ceux des dérivées du second ordre contiendront le
facteur
ceux des dérivées du troisième ordre contiendront
le facteur
et ainsi de suite. Mais
étant très petit,
nous pouvons négliger les termes qui contiennent ce facteur ;
il ne nous restera plus alors que les dérivées du premier ordre
et l’équation en
s’écrira
![{\displaystyle \mu \,{\frac {df}{dx}}+\mu '{\frac {df}{dy}}+\mu ''{\frac {df}{dz}}+{\frac {df}{dt}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4897aeec8cb247572207b779c109aa39a9616f95)
étant des constantes.
L’intégrale générale de cette équation sera :
![{\displaystyle f=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/586f5d0e167ccc4cc6fec5db58c2518304376f11)
fonction arbitraire de
![{\displaystyle x-\mu t,\,y-\mu 't,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9215167c9273466439f0ebb3e0a78abf35468718)
et
![{\displaystyle z-\mu ''t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c4e485070a571c5afa56ec55f4a87e8a79d956f)
ce qui veut dire que les cosinus directeurs du rayon lumineux
sont proportionnels à
et
et que la vitesse de propagation,
estimée non pas normalement au plan de l’onde, mais
dans la direction du rayon est ![{\displaystyle {\sqrt {\mu ^{2}+\mu '^{2}+\mu ''^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/756f880bd02380c12a26c7f1ac92709d4fd28bcc)