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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
Si
et
devaient être des constantes
ces
constantes et
devraient satisfaire aux équations
(2)
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Posons alors :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {L} &=\mathrm {L} _{0}f+g,&\mathrm {M} &=\mathrm {M} _{0}f+h,&\mathrm {N} &=\mathrm {N} _{0}f,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1c2f52bb39ddac0a38669dfd8d17e62153d6ef)
et cherchons à déterminer les trois fonctions
et
.
Pour obtenir ces trois fonctions, substituons dans les équations
du mouvement à la place de
leurs valeurs, c’est-à-dire,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=(\mathrm {L} _{0}f+g)e^{\mathrm {P} },&\eta &=(\mathrm {M} _{0}f+h)e^{\mathrm {P} },&\zeta &=\mathrm {N} _{0}fe^{\mathrm {P} }.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8545673038961ee15e059b17fd0ed3ec42ad616)
Nous obtiendrons ainsi trois équations différentielles entre
et
D’après leur mode de formation ces équations seront :
1o Linéaires et homogènes par rapport à
et
et à leurs
dérivées partielles des deux premiers ordres ;
2o À coefficients constants, après que l’on aura supprimé le
facteur commun
Éliminons maintenant
et
entre ces trois équations ; il
restera une équation différentielle unique qui définira
Cette équation sera encore linéaire, homogène et à coefficients
constants ; mais elle sera d’ordre supérieur au second.
Elle ne contiendra pas
car les équations du mouvement
doivent être satisfaites quand on fait
![{\displaystyle f=1,\qquad g=h=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a08ccc68036095be47c291d85550c58d4bbb1efd)
Elle ne changera pas quand on multipliera à la fois