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ÉTUDE DES PETITS MOUVEMENTS
aux quantités
c’est donc aussi une fonction homogène et du second ordre par rapport aux neuf dérivées
partielles
dérivées que nous représenterons souvent dans la suite par la notation de Lagrange :
Une forme quadratique à neuf variables indépendantes contient neuf termes carrés et un nombre de termes rectangles égal au nombre des combinaisons de neuf objets deux à deux :
elle peut donc renfermer quarante-cinq coefficients arbitraires. Nous allons chercher le nombre des coefficients de la fonction
Considérons d’abord le premier terme
de cette fonction développée suivant la formule (20). Les termes en
qui entrent dans
ne peuvent provenir que de
car, ni
ni
ne renferment
Or on a, en élevant au carré les deux membres de la première des relations (21) :
![{\displaystyle \mathrm {D} \xi ^{2}=\left({\frac {d\xi }{dx}}\right)^{2}\mathrm {D} x^{2}+\left({\frac {d\xi }{dy}}\right)^{2}\mathrm {D} y^{2}+\left({\frac {d\xi }{dz}}\right)^{2}\mathrm {D} z^{2}+2{\frac {d\xi }{dx}}{\frac {d\xi }{dy}}\mathrm {D} x\,\mathrm {D} y+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6fecbf44a6ab63324747ae121c5ead37ff546b4)
et le coefficient de
![{\displaystyle {\xi '}_{x}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb0bdce0a496bbfc70b27c8c08c943ca16894854)
dans
![{\displaystyle \sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\rho _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a76e051502fdd96f4b01e32a406ab8a734223559)
est :
![{\displaystyle \sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\mathrm {D} x^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d67d0237305ba04611121c2c74765fffaa7868a)
On trouverait la même quantité pour le coefficient de
et de
Les coefficients des carrés des neuf dérivées partielles se réduisent donc à trois :
![{\displaystyle \sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\mathrm {D} x^{2},\qquad \sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\mathrm {D} y^{2},\qquad \sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\mathrm {D} z^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53fb0b74954eefabba450bac62ffb78e0247adc1)