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DOUBLE RÉFRACTION
Par conséquent, pour démontrer qu’il ne peut exister qu’une
fonction
il nous suffit de démontrer qu’il ne peut y avoir
qu’une seule fonction périodique ![{\displaystyle \chi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd732617efd911a348c98aed09f1c3494f01eb8a)
Pour cette démonstration considérons l’équation (IV). En
y remplaçant
par
elle devient :
(3)
|
|
|
Si nous admettons qu’il existe deux fonctions
et
satisfaisant
à cette équation, la différence
devra également
y satisfaire. Or cette différence est une fonction périodique
égale, d’après ce qui précède, à la différence
des parties
périodiques des fonctions
et
elle doit donc se réduire à
une constante. Par conséquent les deux fonctions
et
ne
diffèrent que par une constante.
173. Montrons qu’il existe une fonction
satisfaisant à
la relation (3).
Considérons la fonction
![{\displaystyle \rho (\mathrm {L} ^{2}+\mathrm {M} ^{2}+\mathrm {N} ^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25aecf46f6ee2229aedd2f37f3ac3f3f213b170c)
Sa valeur moyenne est essentiellement positive puisque
est
une quantité positive et le second facteur une somme de
carrés. En outre elle ne peut devenir nulle, car il faudrait que
l’on eût
ce qui est impossible puisque les
valeurs moyennes
qui sont données ne sont pas
nulles en général. Cette valeur moyenne doit donc passer par
un minimum auquel correspond une certaine valeur de la
fonction
Si nous donnons à
un accroissement
les
accroissements
de
satisfont en vertu des