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ÉTUDE DES PETITS MOUVEMENTS
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{15}&\quad \sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\mathrm {D} x^{2}&=0,&\quad \quad &\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\,\mathrm {D} z\,\mathrm {D} y&=0,&\qquad \\[1em]{\text{(13)}}&\quad \sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\mathrm {D} y^{2}&=0,&\quad \quad {\text{(14)}}\quad &\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\,\mathrm {D} x\,\mathrm {D} z&=0,&\qquad \\[1em]&\quad \sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\mathrm {D} z^{2}&=0,&\quad \quad &\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\,\mathrm {D} y\,\mathrm {D} x&=0,\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a12a627cb74d8d31f023c916de5bfb7412ae7ab)
sont satisfaites. Cauchy a démontré que, réciproquement, si ces six relations sont satisfaites, la pression extérieure est nulle. Dans la suite du cours nous serons amenés à démontrer cette réciproque.
11. Le troisième terme
du développement de
par rapport aux quantités
a pour expression, si on néglige les termes du troisième et du quatrième degré en
:
(15)
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En substituant cette valeur de
![{\displaystyle \mathrm {U} _{2}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc9b46635e12f8cb82e88832fe12c8aa403f3b4b)
dans la relation (7), on obtient :
![{\displaystyle \mathrm {U} =\mathrm {U} _{2}=\mathrm {U} _{2}''+\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\rho _{2}+{\frac {1}{2}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{d\mathrm {R} ^{2}}}\rho _{1}^{2}+\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{d\mathrm {R} \,d\mathrm {R} '}}\rho _{1}\rho '_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc6a72fbbda90428f88d1f4561077875e558211e)
Le premier terme,
, de cette expression ne jouera en général aucun rôle dans l’élasticité ; il ne dépend, en effet, que des pressions extérieures et ne peut provenir que des déplacements des molécules superficielles. Or, quand on étudie le mouvement dans un milieu indéfini, on est conduit à admettre que les quantités
sont nulles à l’infini ; en outre, dans un milieu limité, les conséquences déduites des calculs dans lesquels la quantité
est supposée nulle, rigoureusement vraies pour les portions du milieu situées à une certaine dis-