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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
Quant à la dernière intégrale nous la transformerons d’une
manière analogue en nous appuyant sur l’égalité connue
![{\displaystyle \iiint {\frac {d\mathrm {F} }{dx}}\,d\tau =\iint \alpha \mathrm {F} \,d\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd0323cf30c7452f280e984a12c4857856665e7a)
et en posant
![{\displaystyle \mathrm {F} =\Lambda \,\delta \xi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88a091d1b9999cd45058ba76491b0869985721d2)
Nous obtiendrons
![{\displaystyle \iiint \Lambda {\frac {d}{dx}}\delta \xi \,d\tau =\iint \alpha \Lambda \,\delta \xi \,d\omega -\iiint {\frac {d\Lambda }{dx}}\,\delta \xi \,d\tau ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d228ade7d12434aa41aaaa55481ece568fc111b)
ou, puisque d’après nos conventions l’intégrale double est
nulle,
![{\displaystyle \int \Lambda \,\delta \xi '_{x}\,d\tau =-\int {\frac {d\Lambda }{dx}}\,\delta \xi \,d\tau .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c8a7af5830aa993fc8a586ceb2c87b877a0a59a)
Par conséquent l’équation (1) peut s’écrire
![{\displaystyle \int \delta \xi \,d\tau \sum {\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}+\int \rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}\,\delta \xi \,d\tau +\int {\frac {d\Lambda }{dx}}\,\delta \xi \,d\tau =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae66162f1bcad473efdf664919669af4d1b3314b)
ou
![{\displaystyle \int \left(\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+\sum {\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}+{\frac {d\Lambda }{dx}}\right)\delta \xi \,d\tau =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c094ecfff1d0054749ef8610dd7164fa47ac3118)
Puisqu’elle doit être satisfaite quel que soit
le coefficient