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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

En dérivant par rapport à $\mathrm {A}$ cette fonction $\mathrm {W} _{2}$, nous obtiendrons,

(3)

${\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\mathrm {A} }}=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{2\mathrm {P} }{\frac {d\Pi }{d\mathrm {A} }}\cdot$

D’ailleurs la dérivée de $\mathrm {W} _{2}$ par rapport à $\mathrm {A}$ peut s’écrire,

${\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\mathrm {A} }}=\sum {\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}{\frac {d\xi '_{x}}{d\mathrm {A} }}\,;$

et, en remplaçant dans cette expression les dérivées par rapport à $\mathrm {A}$ des diverses dérivées partielles de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ par leurs valeurs, nous aurons,

${\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\mathrm {A} }}={\frac {2i\pi }{\lambda }}e^{\mathrm {P} }\sum \alpha \,{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}\cdot$

En égalant cette valeur de ${\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\mathrm {A} }}$ à la valeur (3), et supprimant le facteur ${\frac {2i\pi }{\lambda }}e^{\mathrm {P} }$ commun aux deux membres de l’égalité obtenue, il restera,

(4)

$\sum \alpha \,{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {2i\pi }{\lambda }}e^{\mathrm {P} }{\frac {d\Pi }{d\mathrm {A} }}\cdot$

De cette égalité nous allons déduire une nouvelle expression du second membre des équations (1) du mouvement. La dérivée ${\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}$ est une fonction homogène et linéaire par rapport aux dérivées partielles des $\xi \,;$ si donc on y remplace ces dérivées partielles par leurs valeurs tirées des relations (2), on aura en facteur la quantité ${\frac {2i\pi }{\lambda }}e^{\mathrm {P.} }$ Nous pouvons alors poser

${\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}={\frac {2i\pi }{\lambda }}e^{\mathrm {P} }\varphi ,$