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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
et enfin, par une dernière transformation,
![{\displaystyle \xi _{0}=-{\frac {i\alpha \xi _{1}e^{i\alpha b}}{2\pi b}}\int e^{i\alpha \left(r-b\right)}\,d\omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc1dcb31995050610ddb01f7f552b09489bc8c29)
94. Cherchons la valeur de cette dernière intégrale. Nous avons dans le triangle
(fig. 9),
![{\displaystyle r^{2}=\left(a+b\right)^{2}+a^{2}-2a\left(a+b\right)\cos \theta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a49dbcf5b069c3b0cd78b9d5b976d4fd582bc1f)
et comme nous n’avons à considérer que des points voisins du pôle
pour lesquels
est très petit, nous pouvons remplacer
par les deux premiers termes
de son développement ; nous aurons
![{\displaystyle r^{2}=\left(a+b\right)^{2}+a^{2}-2a\left(a+b\right)\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0a86a5a5289a4c1ff7b9e4f54ac0b5ecd1e1e39)
ou
![{\displaystyle r^{2}=\left(a+b-a\right)^{2}+a\left(a+b\right)\theta ^{2}=b^{2}+a\left(a+b\right)\theta ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cdd00e14d6e8dd0d6bf0fef9b25d8b59acb2eb2)
En désignant par
l’arc de grand cercle
compris entre un point
de la sphère et le pôle
nous aurons,
![{\displaystyle \theta ={\frac {s}{a}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a90051c5ab6ef5de9a5ddcce0e1c2afa410c2fe)
et en portant cette valeur de
dans l’expression de
il viendra
![{\displaystyle r^{2}=b^{2}+{\frac {a+b}{a}}s^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0835e179fc6768bc9250e9a0afafea82cd667aab)
On tire de là,
![{\displaystyle r-b={\frac {a+b}{a\left(r+b\right)}}s^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/932ce8ecc4e062a11c23f5ec87fb46481d8ccfbe)