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CAS GÉNÉRAL

en posant :

$R={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

D’où l’on tire :

$V=R[x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma ]+d$

On obtient facilement le flux à travers un élément $d\omega$ faisant un angle $\varphi$ avec le plan $P$. Prenons le plan $P$ comme plan $x'Oy'$. On aura :

$z'=x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma$.

Et on a pour $V$ l’expression :

$V=Rz'+d$

Le flux cherché est donc :

$dQ=-KR\cos \varphi \ d\omega \ dt$

Considérons en particulier des éléments parallèles aux trois plans de coordonnées. Ils font avec le plan $P$ des angles respectivement égaux à $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Par suite, les flux de chaleur à travers cas éléments seront respectivement :

$-KR\cos \alpha \ d\omega \ dt=-Ka\ d\omega \ dt$ $-KR\cos \beta \ d\omega \ dt=-Kb\ d\omega \ dt$ $-KR\cos \gamma \ d\omega \ dt=-Kc\ d\omega \ dt$

13. Cas général. — Supposons maintenant que la distribution des températures soit quelconque.

Soit $V(x,y,z)$ la température en un point.

Soit $d\omega$ un élément de surface ; $(x_{0},y_{0},z_{0})$, un point de cet élément ; nous allons chercher le flux de chaleur à travers