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CHAPITRE XXIV.
se présentera sous la forme suivante : les
et les
seront développés
suivant les puissances de
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},\quad \mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},\quad \ldots ,\quad \mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16986de244f7788d91fdaf3910597f5f75ce7d6b)
les coefficients étant périodiques en
où
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1},\quad \mathrm {A} _{2},\quad \ldots ,\quad \mathrm {A} _{k},\quad h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1316a25be18228ca3902e71b77e4e017666ea29a)
sont
constantes arbitraires.
Si l’on substitue ces valeurs des
et des
dans l’équation
des forces vives, le premier membre se trouve aussi développé
suivant les puissances de
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},\quad \mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},\quad \ldots ,\quad \mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16986de244f7788d91fdaf3910597f5f75ce7d6b)
les coefficients étant périodiques en
et, comme il doit être
indépendant de
il en résulte qu’il le sera également de
et ![{\displaystyle h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d298611ab61576b6db29d9b50b6af8f12910fc)
Si donc on substitue les valeurs des
et des
dans l’équation (1),
on voit qu’on aura
![{\displaystyle \mathrm {C} _{1}=\mathrm {C} _{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1bbfd1c5b094df946fcbe8643ec8b54735c4d0b)
et par conséquent
![{\displaystyle \mathrm {J} =\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d90d85e02a4134f6484eec4cba5a075a3ef830e)
Dans
l’expression sous le signe
se trouve développée suivant
les puissances de
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},\quad \mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},\quad \ldots ,\quad \mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c112e79b9f769827ee4a80344d8b96f252c71235)
les coefficients sont périodiques en
elle dépend linéairement
des
différentielles
![{\displaystyle d\mathrm {A} _{1},\quad d\mathrm {A} _{2},\quad \ldots ,\quad d\mathrm {A} _{k},\quad dh.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/268d32cf40789dbc71d4b178a3c1bae0bb57a9d1)
On devra donc avoir
(2)
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Les premiers membres des équations (2) se trouvent développés
suivant les puissances des
tous les termes de ce
développement doivent être nuls, sauf le terme tout connu. On