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CHAPITRE XXIV.
Mais alors l’équation (5) se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {B} _{i}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e44d245438d8b583e2400d30a65fdf5ba041f29f)
En général, tout invariant intégral absolu linéaire et du premier
ordre, où l’expression sous le signe
est algébrique par
rapport aux
et aux
et, par conséquent, périodique par rapport
aux
devra être de la forme
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,dn_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea091b24e14c822f64ae7a64881d434ea6c17c1f)
les
ne dépendant que des
c’est, en effet, ce qui arrive pour
les invariants absolus que nous connaissons et qui s’obtiennent
d’ailleurs en différentiant les intégrales des aires, celles des forces
vives ou du mouvement du centre de gravité.
Mais l’invariant relatif
![{\displaystyle \mathrm {J} =\int {\textstyle \sum }\,(2x\,dy+y\,dx)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08cfa4c6b6e9fad4ba126ef04e9a71b343ad3078)
mérite plus d’attention. Nous avons vu que
![{\displaystyle \mathrm {J} -3t(\mathrm {C} _{1}-\mathrm {C} _{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67bec5e4537e39a4b3f48217db244e68d0b17206)
(où
et
sont les valeurs de la constante des forces vives aux
deux extrémités de l’arc
) est un invariant intégral. On aura
donc
(7)
|
|
|
Si nous posons encore
![{\displaystyle \mathrm {J} =\int +(\mathrm {A} _{i}\,dn_{i}+\mathrm {B} _{i}\,sw_{i}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff3b6f675c1472cc94447d370c78fe88c3447a6c)
l’équation (7) deviendra
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }_{i}\left[dn_{i}\left({\textstyle \sum }_{k}n_{k}\,{\frac {d\mathrm {A} _{i}}{dw_{k}}}+\mathrm {B} _{i}\right)+dw_{i}{\textstyle \sum }_{k}n_{k}\,{\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dw_{k}}}\right]=3\int {\sum }_{i}{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{i}}}\,dn_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3732a5582e5615622166144ffba67492fb3980c9)
car la constante des forces vives
est fonction des
seulement.
Les équations (4) et (5) devront donc être remplacées par les