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CHAPITRE XXIII.
culier quand plusieurs points matériels s’attirent en raison inverse
du cube des distances.
L’invariant
devient alors
![{\displaystyle \mathrm {J} =2\int {\textstyle \sum }(x\,dy+y\,dx)-4t(\mathrm {C} _{1}-\mathrm {C} _{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81bf37076f22336bbf85cefe91aa42253186022d)
Mais la quantité sous le signe
est la différentielle exacte de
l’expression
![{\displaystyle \mathrm {S} ={\textstyle \sum }\,xy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/853d7794972773fcf4bb865936d77d13e1ec9dfb)
de sorte que si l’on désigne par
et
les valeurs de
correspondant
aux deux extrémités de l’arc d’intégration, il viendra
![{\displaystyle \mathrm {J} =(2\mathrm {S} _{1}-4\mathrm {C} _{1}t)+(2\mathrm {S} _{0}-4\mathrm {C} _{0}t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3333f2691fd4c23107c8c90219366c4a23f45ccf)
Si nous supposons en particulier que l’une des extrémités de l’arc
d’intégration corresponde à une situation particulière du système
où les
points matériels sont en repos et à une très grande distance
les uns des autres ; les forces mutuelles seront très petites de sorte
que les vitesses de ces points matériels resteront très longtemps
très petites et les distances très grandes. Il en résulte que
sera
nul, ainsi que
aussi bien pour toutes les valeurs de
que pour
et il restera
![{\displaystyle \mathrm {J} =2\mathrm {S} _{1}-4\mathrm {C} _{1}t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ac35a382d54bb3a49862760225c01e3d2065b88)
On aura donc
![{\displaystyle \mathrm {S} =2\mathrm {C} t+\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ced28a72a3aaaf24f7615799d8bab027a37282)
étant une nouvelle constante, et
celle des forces vives ; ou bien
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,xy=2\mathrm {C} t+\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57670e7ed5255dede4d19fbf89746d5e45127162)
ou
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,m\,x\,{\frac {dx}{dt}}=2\mathrm {C} t+\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc236d544d6a4062e3e1450a58d4b51df9ea70c5)
ou, en intégrant,
![{\displaystyle \sum {\frac {mx^{2}}{2}}=\mathrm {C} t^{2}+\mathrm {B} t+\mathrm {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cb218aaa4c3d37d4de1a2c2cfb29587d14637cd)
étant une troisième constante.
C’est le résultat obtenu par Jacobi au début de ses Vorlesungen über Dynamik.