64
CHAPITRE XXIII.
Or
![{\displaystyle \sum {\frac {d\mathrm {F} }{dy}}{\frac {dy}{d\alpha }}+\sum {\frac {d\mathrm {F} }{dx}}{\frac {dx}{d\alpha }}={\frac {d\mathrm {F} }{d\alpha }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a48e1455281d9594c92aad1bdff1132f17963483)
donc
(2)
|
|
|
Si nous supposons que
soit homogène de degré
par rapport
aux
il viendra
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,x\,{\frac {d\mathrm {F} }{dx}}=p\mathrm {F} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f91ab2824f2c932bf1b47ddb28d450bbec7d5d8d)
Soit alors
la constante des forces vives de telle sorte que
l’équation des forces vives s’écrive
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a11cbada637750a1082fc51136690e4be094478)
Soient
et
les valeurs de cette constante qui correspondent
à
et à
il viendra
(3)
|
|
|
Donc
n’est pas un invariant proprement dit ; mais sa dérivée,
par rapport au temps, est constante et, pour nous servir de l’expression
définie au numéro précédent, c’est un invariant de la
quatrième sorte.
262.Supposons, maintenant que
présente une autre sorte
d’homogénéité.
Partageons les couples de variables conjuguées en deux classes,
et désignons, par
les couples de variables conjuguées de la
première classe, par
les couples de variables conjuguées de
la seconde classe.
Je suppose que
soit homogène d’ordre
par rapport aux
aux
et aux
de telle sorte que l’on ait
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,x\,{\frac {d\mathrm {F} }{dx}}+{\frac {1}{2}}{\textstyle \sum }\left(x'{\frac {d\mathrm {F} }{dx'}}+y'{\frac {d\mathrm {F} }{dy'}}\right)=p\mathrm {F} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f48585adf2e87d651f21d02fd177d31151cb45e)
Posons alors
![{\displaystyle \mathrm {J} =\int \left[{\textstyle \sum }\,(x\,dy)+{\frac {1}{2}}{\textstyle \sum }\,(x'\,dy'-y'\,dx')\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c178dd08cc69d22dc415dd1ca4b2eee9351af6)