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CHAPITRE XXIII.
étant le jacobien ou déterminant fonctionnel des
par rapport
aux
on aura alors
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=\int {\frac {d\mathrm {M} \,\Delta }{dt}}\,d\alpha _{1}\,d\alpha _{2}\,\ldots \,d\alpha _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/001ec6d912fe3d742952ba849ab732c6de085fff)
Or
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {M} \,\Delta }{dt}}&=\mathrm {M} \,{\frac {d\Delta }{dt}}+\Delta \,{\frac {d\mathrm {M} }{dt}}\,;\\{\frac {d\mathrm {M} }{dt}}&={\textstyle \sum }\,\mathrm {X} _{i}\,{\frac {d\mathrm {M} }{dx_{i}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62cd2b16dd6d94f57177feb70c6aae94c307c1b8)
D’autre part,
![{\displaystyle \Delta =\left|{\frac {dx_{1}}{d\alpha _{1}}},{\frac {dx_{2}}{d\alpha _{1}}},\ldots ,{\frac {dx_{n}}{d\alpha _{1}}}\right|\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1561c518816a1d0402a167ec2b99196009a366a3)
Je n’écris que la première ligne de ce déterminant ; les autres s’en
déduiraient en changeant
en
![{\displaystyle \alpha _{3},\,\ldots ,\,\alpha _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d495ab2c489ca8ec1197361360ffa72dab6d606f)
Donc
devra être le jacobien des
![{\displaystyle x_{i}+dt\,{\frac {dx_{i}}{dt}}=x_{i}+\mathrm {X} _{i}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d287cf2f67e5c78d40d1aa83e2d12661ad0d1e33)
par rapport aux
ce sera le produit du jacobien des
par rapport
aux
c’est-à-dire de
par le jacobien des
par
rapport aux
que j’appellerai
j’écris
![{\displaystyle \Delta +dt\,{\frac {d\Delta }{dt}}=\Delta .\mathrm {D} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58a38454ec179eb65260617a83b05a9d23c4db98)
Or, le jacobien
est facile à former ; les éléments de la diagonale
principale sont finis, celui qui appartient à la
ième ligne et à la
ième colonne s’écrit
![{\displaystyle 1+dt\,{\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{i}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e246e35b6b5e2ff6a26a472b18256052e499267)
Les autres éléments sont infiniment petits ; celui qui appartient à
la
ième ligne et à la
ième colonne
s’écrit
![{\displaystyle dt\,{\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{k}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eb6ddc6806e5cb5b2b26e857a48120e96d72c58)
Il résulte de là qu’en négligeant les termes de l’ordre de
on aura
![{\displaystyle \mathrm {D} =1+dt\sum {\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86501fbd6205d911b88bf54862d5f2246e3fe520)