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INVARIANTS INTÉGRAUX.
bilinéaires
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi &={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\left(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'\right)\\\Phi _{1}&={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{ik}\left(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23df12aa1e31789b5daa7e9e3794d2ecc4137047)
seront des intégrales de (2) et (2 bis).
Le cas le plus intéressant est celui où
est pair ; soit donc
Considérons la forme
![{\displaystyle \Phi -\lambda \Phi _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb2f1b57bcbbb0e83fea41f9f5fb0d62d067d676)
et égalons son déterminant à 0. Nous aurons une équation algébrique
en
de degré
mais le premier membre de cette
équation est un carré parfait, de sorte qu’elle se réduit à une
équation d’ordre
Les
racines
![{\displaystyle \lambda _{1},\quad \lambda _{2},\quad \ldots ,\quad \lambda _{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9c79e5de0f91f577c82e71d8f50ebe680a7e21a)
seront, pour la même raison que plus haut, des intégrales des
équations (1).
Maintenant
et
pourront se mettre sous la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi &=\sum _{i=1}^{i=m}\lambda _{i}\left(\mathrm {P} _{i}\mathrm {Q} _{i}'-\mathrm {Q} _{i}\mathrm {P} _{i}'\right)\\\Phi _{1}&={\textstyle \sum }\left(\mathrm {P} _{i}\mathrm {Q} _{i}'-\mathrm {Q} _{i}\mathrm {P} _{i}'\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cda50a55d563627c597d92acd202cca163bc8ff3)
les
et les
étant
polynômes linéaires par rapport aux
et les
et les
étant les mêmes polynômes où les
ont été
remplacés par les ![{\displaystyle \xi '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/578fdcc28ae09d6ef46527bb6149ad1e3f08561d)
Alors les expressions
![{\displaystyle \mathrm {P} _{1}\mathrm {Q} _{1}'-\mathrm {Q} _{1}\mathrm {P} _{1}',\quad \mathrm {P} _{2}\mathrm {Q} _{2}'-\mathrm {Q} _{2}\mathrm {P} _{2}',\quad \ldots ,\quad \mathrm {P} _{m}\mathrm {Q} _{m}'-\mathrm {Q} _{m}\mathrm {P} _{m}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/766fef56d50716d1d81ca27b72426fc0a0c6290b)
seront des covariants du système
et par conséquent des
intégrales de (2), (2 bis) auxquelles correspondront des invariants intégraux.
Il y aurait exception si l’équation en
avait des racines
multiples.
Si l’on avait, par exemple,
![{\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1ea91c1365037d133ecc585c552b617fe7d2d8)