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CHAPITRE XXII.
Considérons la forme
![{\displaystyle \mathrm {F} -\lambda \mathrm {F} _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d604da0587dbb08e48b056322ea7adb85ba81225)
où
est une indéterminée. En écrivant que le discriminant de
cette forme est nul, nous obtiendrons une équation algébrique de
degré
en
dont les
racines seront évidemment des invariants
absolus du système de formes
Ce seront donc des intégrales
des équations (1).
Mais ce n’est pas tout ; soient
ces racines,
et
pourront se mettre sous la forme
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\mathrm {F} \;&=\lambda _{1}&&\mathrm {A} _{1}^{2}&{}+&{}\lambda _{2}&&\mathrm {A} _{2}^{2}&{}+&{}\ldots +\lambda _{n}&&\mathrm {A} _{n}^{2},\\\mathrm {F} _{1}&=&&\mathrm {A} _{1}^{2}&{}+&{}&&\mathrm {A} _{2}^{2}&{}+&{}\ldots +&&\mathrm {A} _{n}^{2},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79eba0b2c320b4fe0ed03ad2b43ec1893c8e428c)
étant des formes linéaires que l’on peut déterminer
par des opérations purement algébriques.
peuvent être regardés comme des covariants de
degré zéro du système
de sorte que
![{\displaystyle \int \mathrm {A} _{1}',\quad \int \mathrm {A} _{2}',\quad \ldots ,\quad \int \mathrm {A} _{n}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/242a43f3f6bfdb5df947ba49cfac9f524b4f9fc5)
sont des invariants intégraux des équations (1), si l’on désigne
par
ce que devient
quand on y remplace les
par les différentielles ![{\displaystyle dx_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff0d869d200c671f06706fd6e83870e7986236a)
Il y aurait exception pourtant si l’équation en
avait des
racines multiples. Si, par exemple,
était égal à
on ne pourrait
plus affirmer que
![{\displaystyle \int \mathrm {A} _{1}',\quad \int \mathrm {A} _{2}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0619372a97abef76ff8ae490d8938482e47ca3dd)
sont des invariants intégraux, mais seulement que
![{\displaystyle \int {\sqrt {\mathrm {A} _{1}'^{2}+\mathrm {A} _{2}'^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f14d3fa1c605c1f95785b52c2ce42b291430944)
est un invariant intégral.
Soient maintenant
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\,dx_{i}\,dx_{k},\quad \int {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{ik}\,dx_{i}\,dx_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5dde2a6d30c5046d90e3b2dfc00af9c3cea6c0e)
deux invariants intégraux du second ordre. Les deux formes