406
CHAPITRE XXXIII.
Je suppose ensuite que (
étant une quantité positive très
petite) on ait pour
(1)
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où
est une fonction de
régulière pour toutes les valeurs
réelles de
périodique de période
et enfin s’annulant avec
sa dérivée pour
et pour ![{\displaystyle \omega ={\frac {\pi }{2}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/112b9273fbb0118e000045e39aba4ff89b90361b)
Comme la fonction (1) serait infinie pour
c’est-à-dire
pour
je supposerai que, pour
la fonction
prend des valeurs quelconques, de façon toutefois qu’elle reste
finie et continue ainsi que ses dérivées des deux premiers ordres.
Il est aisé de vérifier que pour
c’est-à-dire pour
nos équations admettent encore les deux solutions périodiques
et
pour la première de ces solutions on a
pour la
seconde
On en conclut immédiatement que pour toutes les valeurs de
nos équations admettront ces deux solutions périodiques.
406. Nous allons maintenant intégrer nos équations dans le cas
de
au moins en supposant que
reste constamment
Si l’on supposait d’abord
on retomberait sur le problème
des forces centrales et l’intégration serait immédiate. Elle ne l’est
guère moins dans le cas général.
La méthode de Jacobi conduit, en effet, à l’équation aux dérivées
partielles
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {d\mathrm {S} }{dr}}\right)^{2}+{\frac {1}{2r^{2}}}\left({\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }}\right)^{2}+{\frac {(r-1)^{2}}{2}}-\varepsilon \,{\frac {\psi (\omega )}{r^{2}}}=h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f51835f55172cb1db31475caf5cf374c181c1a5a)
étant une constante. Posons
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }}\right)^{2}-\varepsilon \psi (\omega )=k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf4e3a90c27649095820cb1faa0e6ad5275aedfc)
étant une seconde constante, et il viendra
![{\displaystyle \mathrm {S} ={\sqrt {2}}\int {\sqrt {h-{\frac {k}{r^{2}}}-{\frac {(r-1)^{2}}{2}}}}\,dr+{\sqrt {2}}\int {\sqrt {k+\varepsilon \psi }}\,d\omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181db4a3a9e4cd981d6411cab3239a12b2b6aa33)