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SOLUTIONS DOUBLEMENT ASYMPTOTIQUES.
ou bien encore
![{\displaystyle x_{1},\quad y_{1}\,;\quad x_{2},\quad y_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be71842545f73b7dacffbb1a6d6259735f433114)
en posant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}&={\sqrt {2x_{i}}}\cos y_{i}\,;&\eta _{i}&={\sqrt {2x_{i}}}\sin y_{i}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02bf093c812565f994c3eaeae037dc538c33354a)
Ce changement de variables n’altère pas la forme canonique des
équations. Nous prendrons
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}(1-\mu )+\mu \,\mathrm {F} _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cbf7a2857bae6446512331eaa266a461aeb916a)
Nous supposerons que
est une fonction holomorphe de
et de
indépendante de
et de
que pour
on ait
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}&=0,&{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}&=-1,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd27dd3f1fee4b28a8e7b7c168e4e5ad621272e5)
et que pour ![{\displaystyle x_{1}={\frac {1}{2}}\,,x_{2}={\frac {\alpha ^{2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ac231becc83b474d43e95264b9baf0b46abea04)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}&=-1,&{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}&=0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a011edb570c00efbfbb72c1bb412273b91f7065f)
je suppose la quantité ![{\displaystyle \alpha <1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caf19239981cb195e55e70640cd392f1181831b7)
Il résulte de ces hypothèses, que si l’on fait
d’où
nos équations admettront deux solutions périodiques remarquables.
La première que j’appellerai
s’écrira
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {\alpha ^{2}}{2}},&x_{2}&={\frac {1}{2}},&y_{1}&=t,&y_{2}&=0,\\\xi _{1}&=\alpha \cos t,&\eta _{1}&=\alpha \sin t,&\xi _{2}&=1,&\eta _{2}&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a844cc64d1c84ac824c56f79483a0de6830df48e)
La seconde que j’appellerai
s’écrira
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {1}{2}},&x_{2}&={\frac {\alpha ^{2}}{2}},&y_{1}&=1,&y_{2}&=t,\\\xi _{1}&=1,&\eta _{1}&=0,&\xi _{2}&=\alpha \cos t,&\eta _{2}&=\alpha \sin t.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a17dd59d3d61624431c45d55d9b704c1c4187327)
La première correspond à
la seconde à
ces deux solutions périodiques ne correspondent donc
pas à une même valeur du rapport
Pour définir
je pose
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{1}&=1-r\cos \omega ,&\xi _{2}&=1-r\sin \omega ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee6dd5e0c3e6684bc3abe99d90d661526fa70a05)
en attribuant à la variable
une valeur essentiellement positive.