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CHAPITRE XXXIII.
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&=\varepsilon {\frac {d}{dx}}\mathrm {partie} \;\mathrm {r{\acute {e}}elle} \left[\psi 'e^{ix}\right]\,;\\q&={\sqrt {2\mu }}\sin {\frac {y}{2}}+\varepsilon {\frac {d}{dy}}\mathrm {partie} \;\mathrm {r{\acute {e}}elle} \left[\psi 'e^{ix}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2f68ec659b2a06859b85eff6fddfe48c393fea6)
Pour trouver les solutions doublement asymptotiques, il faut
chercher l’intersection de ces deux surfaces asymptotiques ; il
nous suffira donc d’égaler les deux valeurs de
et les deux
valeurs de
Soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} &=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}},\\[0.75ex]u&=2\log t.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d56e014dbaa81b8e9e2d9c9a99f8ab749aaa6e)
Nous trouverons
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\mathrm {partie} \;\mathrm {r{\acute {e}}elle} \left[\mathrm {J} te^{-\alpha u+ix}\right]&=0,\\[0.75ex]{\frac {d}{dy}}\mathrm {partie} \;\mathrm {r{\acute {e}}elle} \left[\mathrm {J} te^{-\alpha u+ix}\right]&=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ce381ce7ef12b29138504120403f6feec627a8b)
ou, en posant ![{\displaystyle \mathrm {J} =\rho e^{i\omega },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d7ff4125408d35f514b5eb07957dce2a8dadf6a)
![{\displaystyle x-{\frac {u}{2{\sqrt {2\mu }}}}+\omega =\mathrm {K} \pi +{\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7588107d11c1f3a77809beaf05f32889a0f7600)
étant entier.
Telle est l’équation des solutions doublement asymptotiques.
Cette équation nous donne en réalité deux solutions distinctes,
l’une correspondant aux valeurs paires, l’autre aux valeurs impaires
de
402. On peut s’étonner de ne trouver ainsi que deux solutions
doublement asymptotiques, tandis que nous savons qu’il y en a
une infinité.
Les approximations suivantes ne nous donneraient non plus
qu’un nombre fini de solutions doublement asymptotiques. Quelle
est l’explication de ce paradoxe ?
Nous avons vu dans les numéros précédents que les diverses
solutions doublement asymptotiques en nombre infini correspondent
aux diverses intersections d’un certain arc
avec
les divers conséquents d’un autre arc