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CHAPITRE XXXIII.
du premier degré en
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{2}&={\sqrt {2x_{2}}}\cos y_{2},&\eta _{2}&={\sqrt {2x_{2}}}\sin y_{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90083841de20930c0a1cb7c2bdf391a6ec7876a5)
et que, par conséquent, la dérivée
contenant des termes
en-
devenait infinie pour ![{\displaystyle x_{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/233159193600bd3b3390e809fc4968076501c5b1)
Ici cette difficulté n’existe plus ; nous n’avons plus de termes
du premier degré en
donc la dérivée
reste finie, même
pour
et
qui diffère très peu de
conserve toujours
le même signe. Donc, avec nos nouvelles variables qui, d’ailleurs,
ne diffèrent des anciennes que de quantités très petites de l’ordre
de
nous aurons constamment
![{\displaystyle {\frac {dx_{2}'}{dt}}>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4467ea946fe8b0483531d29393efca550feebab)
Faisons, avec nos variables nouvelles, une convention analogue
à celle du numéro précédent et représentons la situation du système
par le point de l’espace dont les coordonnées sont
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} &={\frac {{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}'}}\cos y_{2}'}{{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}'\!+\!4x_{1}'}}-2{\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}'}}\cos y_{1}'}},&\mathrm {Y} &={\frac {{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}'}}\sin y_{2}'}{{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}'\!+\!4x_{1}'}}-2{\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}'}}\cos y_{1}'}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5e452c4fafb642a6e37a7be8f09f8bbc2bc56e)
![{\displaystyle \mathrm {Z} ={\frac {2{\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}'}}\sin y_{1}'}{{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}'\!+\!4x_{1}'}}-2{\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}'}}\cos y_{1}'}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0009f0064984b139915d776a8c6cd1a9818f97b)
Tout ce que nous avons dit subsistera ; seulement comme
ne peut jamais s’annuler, tout point du demi-plan, sans exception,
aura un conséquent.
Je dis maintenant que l’invariant intégral est toujours positif.
Il ne pourrait y avoir de doute que pour le dénominateur qui,
avec les mêmes variables, était
et qui serait maintenant
![{\displaystyle -\left(x_{1}'{\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{1}}}+x_{2}'{\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{2}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb8441c515073eb22703330e43f652493bbfbc34)
ce qui, en regardant
comme fonction des quatre variables,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}'&={\sqrt {2x_{i}'}}\cos y_{i}',&\eta _{i}'&={\sqrt {2x_{i}'}}\sin y_{i}',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4a960501f4f9006279858f3505e1dcc9de902c)